【导与练】2014-2015学年数学必修五(人教版A版)第一章检测试题

a=2Rsin A,c=2Rsin C, 代入等式左边, 左边=2Rsin A·

+2Rsin C·

=R(sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C) =R(sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C) =R[sin A+sin C+sin(A+C)] =R(sin A+sin C+sin B) ==

=右边,

∴等式成立.

17.(本小题满分12分)

(2014新余高二期末)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.

(1)若△ABC的面积等于,求a,b;

(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 解:(1)由余弦定理及已知条件得, a2+b2-ab=4,

又因为△ABC的面积等于, 所以absin C=,得ab=4.

联立方程组解得a=2,b=2.

(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即sin Bcos A=2sin Acos A, 当cos A=0时,A=,B=,

a=,b=,

当cos A≠0时,得sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a, 联立方程组解得a=,b=.

所以△ABC的面积S=absin C=. 18.(本小题满分14分)

如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 小时追上.

(1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值.

解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20(海里), ∠BCA=α.

在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784. 解得BC=28(海里),

所以渔船甲的速度为=14(海里/小时).

(2)法一 在△ABC中,AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得

=

. =

=.

即sin α=

法二 在△ABC中,

因为AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α, 由余弦定理,得cos α=即cos α=

=.

,

所以sin α=

==.