【导与练】2014-2015学年数学必修五(人教版A版)第一章检测试题

9.(2014山东潍坊高二质检)在三角形ABC中,已知三边之比a∶b∶c=2∶3∶4,则

的值等于( B )

(A)1 (B)2 (C)-2 (D)

解析:由已知不妨设a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 所以cos C=于是==

=2,故选B.

=

=-,

10.(2013厦门六中期中)甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( C ) (A)21.5分钟 (B)分钟 (C)分钟 (D)2.15分钟

解析:如图所示,设甲船行至C点,乙船行至D点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是x小时,则

|CD|2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos 120°=28x2-20x+100, ∴当x=小时,即分钟时,|CD|2取最小值,即两船相距最近.故选C.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

11.在△ABC中,已知b2+c2=bc+a2,则角A的大小为 . 解析:由已知得b2+c2-a2=bc, 于是cos A=答案:60°

12.在△ABC中,若b=5,∠B=,sin A=,则a= . 解析:由正弦定理有即=,得a=.

=

,

==,故A=60°.

答案:

13.(2014宁德质检)锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= . 解析:∵2asin B=b, ∴2sin Asin B=sin B, ∴sin A=,

∵△ABC是锐角三角形, ∴cos A=,

∵bc=6,b+c=5, ∴b=2,c=3或b=3,c=2. ∴a2=b2+c2-2bccos A =22+32-2×6×=7. ∴a=. 答案:

14.(2013衡水中学高二第一次调研)一船以每小时15 km的速度向东航行,在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔距离为 km. 解析:如图所示,由题意可知,

AC=15×4=60(km), ∠CAB=30°,∠ACB=105°,

∴∠ABC=180°-30°-105°=45°. 在△ABC中,由正弦定理知

=∴BC=答案:30

三、解答题(本大题共4小题,共50分) 15.(本小题满分12分)

, =

=30(km).

(2014珠海高二期末)在△ABC中,若a=1,b=, (1)若B=45°,求角A; (2)若c=,求角C. 解:(1)由正弦定理得∴sin A=∴A=30°. (2)cos C=∴C=135°.

16.(本小题满分12分)

在△ABC中,求证:acos2+ccos2=(a+b+c). 证明:法一 左边=a·====

+c·

=

=-,

=

=,

=

,

+acos C+ccos A +(a·+ =右边.

+c·

)

∴等式成立. 法二 由正弦定理得