数学分析第五版

14.2 曲面积分 一．第一型曲面积分

第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。

设在三维欧式空间错误！未找到引用源。中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。首先，用曲面S上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。，将此分法记为T。设第k个小曲面错误！未找到引用源。的面积是错误！未找到引用源。。在第k个小曲面错误！未找到引用源。上任取一点 错误！未找到引用源。 ，作和

n 错误！未找到引用源。 Qf(?,?,????n?kkk)k

k?1(1)

称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。 令错误！未找到引用源。。

定义 设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。若当 错误！未找到引用源。时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1） 存在极限L，即

错误！未找到引用源。=L,

则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为 L=错误！未找到引用源。 ,

期中 是曲面S的面积微元。

不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误！未找到引用源。 ，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即

m=错误！未找到引用源。 ,

第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。

定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误！未找到引用源。,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。 (2) 其中

E=错误！未找到引用源。 F=错误！未找到引用源。 G=错误！未找到引用源。

证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。

公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。曲面的面积微元d错误！未找到引用源。

如果光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误！未找到引用源。D,其中

D是有界闭区域，则 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (3)

例1 计算曲面积分 错误！未找到引用源。 ，其中S是球面错误！未找到引用源。 被平面z=h（0=h).

解：曲面S的方程是 z=错误！未找到引用源。

曲面S在xy平面上的投影区域D是错误！未找到引用源。

由式（3），有

=错误！未找到引用源。=2a错误！未找到引用源。

例2 计算曲面积分错误！未找到引用源。 ，其中曲面S是螺旋面x=rcos错误！未找到引用源。 的一部分。

解：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

d错误！未找到引用源。

设D(错误！未找到引用源。),由公式（2）得

二．第二型曲面积分

第二型曲面积分的定义和计算与第二型曲线积分的完全类似。已知第二型曲线积分的曲线的方向有关，同样，第二型曲面积分与曲面的方向也有关。因此要讨论曲面的正向和负向。

在光滑曲面S上任取一点错误！未找到引用源。，过点错误！未找到引用源。 的法线有2个方向，选定一个方向为正。当点P在曲面S上连续变动（不越过曲面的边界）

时，法线也连续变动。当动点P从错误！未找到引用源。 出发沿着曲面S上任意一条闭曲线又回到错误！未找到引用源。 点时，如果法线的正方向与出发时的法线正向相同，称这种曲面S是双侧曲面，否则为单侧曲面。通常所遇到的曲面都是双侧曲面。单侧曲面也是存在的，例如，将长方形纸条的一端扭转180°，在与另一端粘合起来，就是单侧曲面。我们只讨论双侧曲面，因为双侧曲面有正向和负向，所以同一块曲面由于方向不同，在坐标面上的投影的面积就带有不同的符号。

首先讨论流量问题。在三维欧式空间R3 有界体W中有流体稳定