高考数学一轮复习（热点难点）专题59 求知路上能走多远探索性问题

654321yAMFC23456789x2–1O–1–2–3–4–5–61B 2.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】 已知抛物线C的方程x2?2py,M?2,1?为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点. （I）求MF；

（II）设直线l2:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1:y??1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】(I)2；(II)存在，?0,1?.

x02x01??x?x0?， ?k?y?x?x0?x0，?直线l1的方程为y?422

x02?2uuuruuurx02x02x22?n)，NQ?(0?,?1?n) 令y0??1得x?，?Q点坐标为(?,?1)，?NP?(x0,x042x02x0xQ点N在以PQ为直径的圆上，?NP?NQ?0

2要使方程恒成立，必须有?2?1?n?0?n?n?2?02，解得n?1.

?在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为?0,1?...

法2：设点P?x0,y0?，由l1:y?kx?m与曲线C有唯一公共点P知，直线l1与C相切，

x02x0121??x?x0?， 由y?x得y??x.?直线l1的方程为y?4242

3.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】椭圆，，，轴正半轴上的某点满足（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；

，

（.

）的上下左右四个顶点分别为，

（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且在这样的直线，使得说明理由.

，

，

，是否存

的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请

【答案】（1）椭圆标准方程为，点坐标为；（2）．

【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出

，由

出相等，故存在。

、

的值，得到椭圆方程；（2）假设存在，设直线

的面积相等，求出

，再算出

的面积，得

2x2y21?和点4.【2015高考北京，理19】已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，点P?0，2abA?m，n??m≠0?都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

x2,0),(2)存在点Q（0，?y2?1,M( ?2）1?n2m2x2y21?且离心率为【解析】（Ⅰ）由于椭圆C：2?2?1?a?b?0?过点P?0，，

2ab1b2c2a2?b211x22?1,b?1,e?2??1?2?，a?2，椭圆C的方程为?y2?1. 222aaa22