2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用(含解析)

课时作业(二十三)

1.B [解析] 在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,由正弦定理得AC=

=,所以 =250 (m).故选B.

2.A [解析] 依题意,在 △ABC中,AB=42×=14(海里),∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得

=,解得

BC=7 (海里).故选A.

3.D [解析] 由题图可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·-即两船相距70 n mile.

5.B [解析] 设从岛屿A到岛屿C的速度为v,从岛屿A到岛屿B需要t min,由正弦定理,得

=,得

=3a2,解得AB= a(km).故选D.

4.70 [解析] 设两船之间的距离为d n mile,则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4900,所以d=70(n mile),

t=

=30 ≈42(min).故选 B.

=,所以

6.D [解析] 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,由正弦定理得BC=15 (m).

在直角三角形ABC中,AB=BCtan∠ACB=15 × =15 (m).故选D.

7.B [解析] 因为AB=1000×=(km),∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理得BC=30°= (km),所以航线离山顶的高度

·sin h= sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山顶的海拔高度 为18-11.4=6.6(km).故选B.

8.C [解析] 由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得AC=

=,所以

==10 (n mile),所以海轮航行的速度为=(n mile/min).故选

C.

9.B [解析] 依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知

=,所以 AC=

=20 (m).所以在直角三角形

ABC中,AB=AC·sin∠

ACB=20 ×=30(m).因为国歌时长为50 s,所以升旗速度为=0.6(m/s).故选B.

10.10 [解析] 如图,设炮台的顶部为A,底部为O,两条小船分别为M,N,且由炮台顶部测得M的俯角为60°,由炮台顶部测得N的俯角为45°,则AO=30 m,∠AMO=60°,∠ANO=45°,∠MON=30°,ON=AOtan 45°=30(m),OM=AOtan 30°=×30=10 (m),在△MON中,由余弦定理得

MN= = =10 (m).

11.100 [解析] 依题意,在△ABC中,AB=600 m,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得

=,即=,所以

BC=300 (m).在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠

CBD=300 ×tan 30°=100 (m).

12.解:在△ABC中,AB=40 n mile,AC=20 n mile,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,得BC=20 (n mile).由正弦定理,得BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=

=,所以 sin∠ACB=

·sin∠BAC=.由∠ .由

θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠

.

13.解:在△ABD中,因为∠BAD=90°,∠ABD=45°,

所以∠ADB=45°, 所以AD=AB=80 m,所以BD=80 m.

在△ABC中,∠ACB=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得所以

BC== =40 (m).

=,

在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos 60°=(80 )2+(40 )2-2×80 ×40 ×=9600. 所以DC=40 (m),航模的速度v=故航模的速度为2 m/s.

=2 (m/s).

14.B [解析] 记开始热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×,令OB2≤4502,得

4t2-120 t+1575≤0,解得

-

-=15(h).

- ≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 15. [解析] 设∠COD=θ0<θ<

OCD=

,则∠AOC=∠BOD=-.展示台的各区域的面积依次为S△

×202sin θ=200sin θ,S弓形CMD=×202×θ-×202sin θ=200θ-200sin θ,S扇形AOC=S扇形BOD=×202×-

-

=200,所以预计日总效益y=S△OCD×50+S弓形CMD×30+(S扇形AOC+S扇形BOD)×40=20002sin θ-θ+

.

令f(θ)=2sin θ-θ+,则f'(θ)=2cos θ-1.当0<θ<时,f'(θ)>0,当<θ<时,f'(θ)<0,所以当f'(θ)=0,即cos θ=时,f(θ)取得最大值,即预计日总效益最大,所以∠COD的余弦值等于.