数学建`模课堂练习

第一次课堂练习

1、设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0（v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

3、已知某商品的需求函数与供给函数分别为:

Q?a?bP 与 S??c?dP,

其中a,b,c,d均为正常数, 而商品价格P又是时间t的函数. 若初始条件为P(0)?P0, 且在任一时刻t, 价格P的变化率总与这一时刻的超额需求Q?S成正比（比例常数为k?0）.

（1）求供需相等时的价格Pe（即均衡价格）; （2）求价格函数P?P(t);

（3）分析价格函数P?P(t)随时间的变化情况.

第二次课堂练习

1、假设银行年利率为r，现存入A0元，试分析银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:

（1）t年后, 总金额A?A(t)的计算公式;

（2） 当r?6%, A0?10000元时, 算出1年后, 本息合计A(1)分别为多少?

（3） 连续复合时, 总金额A(t)所满足的微分方程.

2、在某池塘内养鱼, 该池塘内最多能养1000尾, 设在t时刻该池塘内鱼数为y(t)是时间t（月）的函数, 其变化率与鱼数y及1000?y的乘积成正比（比例常数为k?0）. 已知在池塘内放养鱼100尾, 3个月后池塘内有鱼250尾, 试求: （1）在t时刻池塘内鱼数y(t)的计算公式; （2）放养6个月后池塘内又有多少尾鱼?

3、某银行帐户, 以连续复利方式计息, 年利率为5%, 希望连续

10年以每年10万元人民币的速率用这一帐户支付职工工资, 若t以年

为单位, 试写出余额B?B(t)所满足的微分方程, 且问当初始存入的数额B0为多少时, 才能使10年后账户中的余额精确地减至0.

1、 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解 设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到t?dt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内

容器中盐的改变量?注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.01?3dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t),假设t到t?dt时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内

100?(3?2)t的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为

x(t)2dt,这样即可列出方程

100?(3?2)tdx?0.03dt?即

2xdt,

100?tdx2x?0.03?. dt100?t又因为t?0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

2x?dx??0.03，??dt100?t ???x(0)?10,?这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

9?104 x(t)?0.01(100?t)?. 2(100?t)下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t)9?104, p(t)??0.01?100?t(100?t)3且当t???时,p(t)?0.01,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入质量浓度为C1的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以

V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为x(t),原来的初始质量为x0 ,t =0时溶液的体积为V2,在

dt时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

dx?C1V1dt?C2V2dt,

其中C1是流入溶液的质量浓度, C2为t时刻容器中溶液的质量浓度,C2?x于是,有混合溶液的数学模型 ，V0?(V1?V2)t?dx??C1V1?C2V2， ?dt?x(0)?x0．?该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0（v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

解法一（解析法）

假设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于Q(1,v0t)。由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有

y??即

（1） v0t?(1?x)y??y

又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即

v0t?y 1?x?x0（2） 1?y?2dx?5v0t

由(1),(2)消去t整理得模型：

1(1?x)y???1?y?2 （3）

5初值条件为：y(0)?0，y?(0)?0。解即为导弹的运行轨迹：

46555y??(1?x)5?(1?x)5?

81224当x?1时y?55，即当乙舰航行到点(1,)处时被导弹击中。被击中时间为：2424