山东省临沂市2019届高三数学二模试卷（理科）

【分析】由圆x+y﹣2x﹣8y+1=0的圆心到直线ax﹣y+1=0的距离为1，利用点到直线距离公式能求出a的值．

【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+1=0的圆心C（1，4）， ∵圆x+y﹣2x﹣8y+1=0的圆心到直线ax﹣y+1=0的距离为1， ∴d=

=1，

2

2

22

解得a=故答案为： 12．设

．

．

，则二项式展开式中x项的

2

系数为 135 （用数字作答）． 【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】先根据定积分求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出x2项的系数． 【解答】解：二项式令6﹣2r=2， 解得r=2，

∴展开式中x项的系数为C6（﹣3）=135， 故答案为：135．

13．阅读如图的程序框图，若运行此程序，则输出S的值为

．

2

2

2

=（x2﹣x）|

即（x﹣

）的通项为C6（﹣3）?x

6

r

r

=9﹣3=6，

6﹣2r

，

【考点】EF：程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算 并输出变量S=sin的值， ∵sin6=336…1， ∴S=sin0+sin故答案为：

14．三国时代吴国数学家赵爽所著《周髀算经》中用赵爽弦图给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽弦图，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色和黄色，若朱色的勾股形中较大的锐角α为黄色的小正方形内的概率为 1﹣

，现向该赵爽弦图中随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在 ．

=+sin

． ．

+sinπ+…+sin

+sin

=336×

的值以6为周期呈周期性变化，且一个周期内的值的和为0，且2017÷

+sin

+sinπ+…+sin

+sin

【考点】CF：几何概型．

【分析】利用勾股定理分别求出黄色和朱色面积，利用面积比求概率． 【解答】解：设正方形的边长为2，由已知朱色直角三角形一个锐角为边长度分别1、

，所以中心正方形的边长为

﹣1，面积为（

；

，得到两条直角

2

﹣1）=4﹣2

，

由几何概型的公式得到所求概率为

故答案为：1﹣

．

15．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=点．

例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题： ①函数f（x）=sinx﹣1是上的“平均值函数”； ②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤

；

，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值

③若函数f（x）=x2+mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；

④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜

．

其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）． 【考点】3P：抽象函数及其应用．

【分析】直接利用定义判断①；利用反例判断②；利用定义推出m的范围判断③；利用分析法直接证明结合函数的导数判断④． 【解答】解：①∵

=0，而f（

）=0，

∴f（x）=sinx﹣1是上的“平均值函数”，故①正确； ②若f（x）=0，则均值点，故②错误；

③若函数f（x）=x+mx﹣1是上的“平均值函数”， 则区间（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）=

=m，

2

=0，显然（a，b）上的任意1个数都是f（x）的

即x0+mx0﹣1=m，∴m=

2

=﹣x0﹣1，

∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正确；

④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点， ∴lnx0=

=

，则lnx0﹣

=

﹣

．

令=t，则b=at（t＞1），

2

∴﹣=﹣=（）

=令

g

（

t

）

（2lnt﹣t+=2lnt

﹣

）， t+

，

则

g′

（

t

）

===＜0，

∴g（t）在（1，+∞）上是减函数， ∴g（t）＜g（1）=0， ∴

﹣

＜0，即lnx0＜

，故④正确．

故答案为：①③④．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16

．

已

知

向

量

，若f（x）=m?n．

（I）求f（x）的单调递增区间；

（II）己知△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=3，fsinC=2sinB，求A，c，b的值．

【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（I）根据平面向量的数量积公式得出f（x）解析式，使用三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性列不等式解出； （II）根据A的范围和f（【解答】解：（I）f（x）=（sinx﹣=（sinx﹣

cosx）cosx+

）计算A，利用正弦定理和余弦定理求出b，c． cosx）sin（=sinxcosx﹣

+x）+cos2x+

，