高考冲刺押题2013高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 命题及逻辑联结词（含解析）

命题及逻辑联结词

【考点导读】

1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．

2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内

容．

3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对

含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】

1.下列语句中：①x2?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6． 其中，不是命题的有____①②④_____．

2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 若?p则?q，逆否命题可表示为若?q则?p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．

3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若

x?y?0，则xy?0”

的逆命题；③“若x?0，则x2?0”的否命题；④“若方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实根，则ac?0”的逆否命题．其中真命题的序号有____①③____．

4.有下列命题：①?x?R,2x2?3x?4?0；②?x?{?1,0,1},2x?1?0；③?x?N,使x?x；④?x?N,使x为29的约数．其中真命题的序号有___①③④___．

2*5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___． 【范例解析】

例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；

（3） 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d. 分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.

解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题； 逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.

（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；

逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；

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若a?0且b?0，则ab?0

6.命题“若ab?0，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是 ．

否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；

逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）原命题：设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d；真命题； 逆命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b,c?d；假命题； 否命题：设a,b,c,d?R，若a?b或c?d，则a?c?b?d；假命题； 逆否命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b或c?d；真命题.

点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即?p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.

例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；

（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

（3）p：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x2?x?1?0的两实根的绝对值相等.

分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；

p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题.

（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；

[来源:Z*xx*k.Com]

p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；

非p：矩形的对角线不相等，假命题.

（3）p或q：方程x?x?1?0的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；

2p且q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；

非p：方程x?x?1?0的两实根的符号不同，真命题.

2[来源:学§科§网]

点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.

例3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分.

分析：全称命题“?x?M,p(x)”的否定是 “?x?M,?p(x)”，特称命题“?x?M,p(x)”

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的否定是“?x?M,?p(x)” .

解：（1）?p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）?p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）?p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）?p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题. 点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 否定词语 正面词语 否定词语

等于 不等于 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有一个 一个也没有

不小于

小于

[来源:学科网ZXXK]是 不是 所有的 某些

都是 不都是 ? ?

任意的

某个

例4.已知c?0且c?1，设p:函数y?(2c?1)?cx在R上为减函数，q:不等式“p且q”为假命题，求实数c的取值x?(x?2c)?1的解集为R.若“p或q”为真命题，范围.

分析：由p，q为真求出c的取值范围，结合“p或q”为真命题，“p且q”为假命题得出

p，q一真一假，从而得出c的取值范围.

2解：当p为真时，

?函数y?(2c?1)?c在R上为减函数，

x?2c?1?0,?2c?1?0,1??或?得?c?1.

c?1,0?c?1.2??当q为真时，

?不等式x?(x?2c)?1的解集为R，即x?R时，x?(4c?1)x?(4c?1)?0恒成立.

222???(4c?1)?4?(4c?1)?0，得c?2258.

“p且q”为假命题， ? “p或q”为真命题，

?1?c?1,?15?2解得?c?. ?当p为真q为假时，?28?c?5.?8? 第 3 页 共 3 页

1?0?c?或c?1,??2当p为假q为真时，?解得c?1.

?c?5.?8?综上所述，实数c的取值范围是(,]?(1,??).

2815点评：由条件分析得到p，q一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求c的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错. 【反馈演练】

b?M，则a?M 1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是若__________________.

2．已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p:?x?R,sinx?1.

3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.

4．已知下列四个命题：

①“若xy?1，则x,y互为倒数”的逆命题； ② “面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m?1，则方程x2?2x?m?0有实根”的逆否命题； ④“若A?B?B，则A?B”的逆否命题． 其中真命题的是____①②③____.

5．已知全集U?R，A?U，若命题p:3?A?B，则?p：. 3?(CUA)?(?UB) a b6．命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为________________________若a?b，则2．?2?1

8．命题p:方程x?mx?1?0有两个不相等的实根，命题q:方程4x2?4(m?2)x?1?0无实根，若p?q为真，p?q为假，则实数m的取值范围______ ___． 10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

??,?2)?(1,2]?[3,??) ?0，则a?0或b?0； ab（(1）设a,b?R，若

（2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0．

解：（1）逆命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；真命题； 否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0且b?0；真命题； 逆否命题：设a,b?R，若a?0且b?0，则ab?0；真命题； （2）逆命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0,b?0；假命题；

[来源:Z*xx*k.Com]2

否命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；假命题； 逆否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；真命题．

211．设命题p：函数f(x)?(a?)是R上的减函数，命题q：f(x)?x?4x?3在[0,a]上

32x的值域为[?1,3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 解：由0?a?32?1得

32?a?52，

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又f(x)?x2?4x?3?(x?2)2?1，在[0,a]上的值域为[?1,3]，得2?a?4． 又“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

?当p为真q为假时，解得

325232?a?2. ?a?4.

5当p为假q为真时，解得

综上所述，a的取值范围为(,2)?[,4].

212．已知命题r(x)：?x?R，都有sinx?m，命题s(x)：?x?R，x2?mx?1?0.若r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围.

解：当 r(x)为真命题时，则m??1，故r(x)为假命题时，得m??1. 当s(x)为真命题时，??0即m2?4?0，则m??2或m?2. 综上，可知m?[?1,?2]?[2,??).

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

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