4-2-4燕尾定理 题库教师版

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC?6份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4，S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6

S6得S△BGC?4(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC?19(份)，因此△AGC?,

S△ABC19同理连接AI、CH得所以

S△ABH6S6?,△BIC?, S△ABC19S△ABC19S△GHI19?6?6?61?? S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，

AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

ADGFHBEIC

ADGFHBEIC

【分析】 如图，连接AI．

根据燕尾定理，S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1，S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2，

所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，

22那么，S?BCI?S?ABC?S?ABC．

1?2?47同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的

2，所以阴影三角形的面积等于?ABC面积721的1??3?，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．

77

【巩固】如图在△ABC中，

AEHFIBGDCBFIGDCH△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA2AE

【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,

S2得S△AGC?2(份)，S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得

S△ABC79

S△ABH2S△BIC2?,?, S△ABC7S△ABC7所以

S△GHI7?2?2?21?? S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

△GHI的面积DCEAFB1【巩固】如图在△ABC中，的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDCBFIGDCHAE

【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:1,

S3得S△AGC?3(份)，S△ABG?9(份),则S△ABC?13(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得

S△ABC13S△ABHS3?13,△BIC?, S△ABCS△ABC13所以

S△GHI13?3?3?34?? S△ABC1313

【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积．

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC?12份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?4:3?12:9，S△ABG:S△AGC?BD:DC?4:3?16:12

S12得S△BGC?9(份)，S△ABG?16(份)，则S△ABC?9?12?16?37(份)，因此△AGC?,

S△ABC37同理连接AI、CH得所以

S△ABH12S△BIC12??,, S△ABC37S△ABC37S△GHI37?12?12?121?? S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74?1?2 37

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

10

AD377AEx+3ED73F7xB3F77CBC

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则x:?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18．

方法二：设S△ADF?x，根据燕尾定理S△ABF:S△BFC?S△AFE:S△EFC,得到S△AEF?x?3，再根据向右下飞的燕子，有(x?3?7):7?x:3，解得x?7.5四边形的面积为7.5?7.5?3?18

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积

是 ．

2134

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的

字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：

2:S阴影??1?3?:4，解得S阴影?2.

方法二：回顾下燕尾定理，有2:（S阴影?4）?1:3，解得S阴影?2.

【例 10】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?

AF84O403035EB【解析】 设S△BOF

?x，由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得

DC33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x，

443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE，列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56

4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70

所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315

【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分

的面积．

11

AADEDEMNBFCBFC

【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．

在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM?AE:CE?1:1,S△ACM:S△BCM?AD:BD?1:1,

1所以S△ABM?S△ACM?S△BCN?S△ABC

311由于S△AEM?S△AMC?S△ABMS，所以BM:ME?2:1

22在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN?BF:CF?1:1S△CEN:S△CBN?ME:MB?1:2

设S△CEN?1(份)，则S△BEN?1(份)，S△BCN?2(份)，S△BCE?4(份)，

1111所以S△BCN?S△BCE?S△ABC,S△BNE?S△BCE?S△ABC，因为BM:ME?2:1,F为BC中点,

244822111111所以S△BMN?S△BNE??S△ABC?S△ABC,S△BFN?S△BNC???S△ABC,

33812224855?11?S△ABC??15?3.125(平方厘米) 所以S阴影????S△ABC?2424?128?

【例 12】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，

AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMBDENFC

【解析】 连接CM、CN．

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；

5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么

S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?7428S△AFC24?37?7?15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)

528

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，

若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

ADNCB

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MMEFE12

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