赵振江—储油罐的变位识别与罐容表标定 数学建模

图7储油罐变位时，模型计算油量与实验采集油量的差

如图所示，误差随油面高度在变化。由于无法计算罐内其他物体（进油管、出油管等）所占体积，所以，采用最小二乘法，拟合油量误差与油面高度的关系。观察误差散点图，油量误差与油面高度的关系接近一条直线关系。设

E?模型计算油量?实验采集油量?ah?b

通过Matlab中的函数polyfit，可以得到a?0.00318，b?0.07348 这样一来就得到校正了误差油量计算模型：

V?sgnl1?V前?V中-0.00318h-0.07348 （6）

以附件1中的变位进油数据表再进行计算和比较得到下图8。从图中可以直观地观察到，修正后模型计算油量与实验采集油量比较吻合。

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图8 储油罐变位时，实验采集油量、修正后模型计算油量与油面高度关系 罐容标示： 修正前 油面高度 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 油量体积 70.13 281.86 595.24 965.66 1371.88 1798.52 2232.49 2661.41 3072.42 3450.71 3776.62 4012.73 修正后 油面高度 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 油量体积 -3.67 207.72 520.69 890.65 1296.40 1722.56 2156.04 2584.47 2994.98 3372.78 3698.23 3933.89 5.2问题2模型的建立与求解 在这里主要讨论题目中图1所示实际储油罐几何体，建立储油罐内油体体积与油面高度的关系，也分两种情形来讨论。先考虑无变位即无纵向倾斜也无横向倾斜的情形（??0，??0）。 5.2.1实际储油罐无变位

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以左边球罐顶点为坐标原点，圆柱体中心线为z轴，建立如图所示的直角坐标系。

地平线 油位探测装置 油位探针

注检油查口 口 y 出油管 x 油浮子 3 m O 油位高度 油 z 1m 2m 6m 图9 储油罐正面示意图 1m 为了得到罐内油量体积，只要计算油体与平面z?t的截面面积，然后从z?0到z?10求定积分，就可得到罐内油体体积与油面高度的关系。设油量在左边球冠内的体积为V1，圆柱体内的体积为V2，右边球冠内的体积为V3，由于左右两边球冠形体相同，因此V1?V3。另外，根据问题1罐体无变位时油体体积计算公式，可得到

h?R?2?2?V2(h)???h?R?R2??h?R??R2arcsin?R?L （7）

R2??其中，h为油面高度读数，R为油罐中圆柱体部分的圆柱体半径，L为圆柱体的高。下面计算V1，为此，先计算球冠所在的球面的半径Rball. 由于

?D?2 R?1??ball????Rball?2?22Rball4?D2? （8）

8

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Rball 圆柱体底面直径D O 1m

2这样，球冠所在的球面其方程为：x2?y2??z?Rball??Rball，在yoz平面上的投2影的方程为：y2??z?Rball??Rball，油面在yoz平面上的投影为直线y?h?22D。 2过点（0，0，z）的做平行于坐标面xoy平面，该平面与球冠的交线是一个圆，

2其半径为y2?Rball??z?Rball?，此时，球冠体内的油体与该平面的截面是一个

2圆面或部分圆面如下图所示。 D油面直线方程y?h?

2

D所以当h??0时，截面面积

2

2??y2,0?z?z1? （9） S?z????y1??2222yy?y?yarcsin?y,z?z?1??1221?12y2?2??D?D?2??h??。 其中y1?h?，z1?Rball?Rball22??2所以油体在球冠体内体积

1z11??y1??2?2222V1(h)??S?z?dz???y2dz???yy?y?yarcsindz （10） ???y2?212?00z1?1?y2?2?? 12