赵振江—储油罐的变位识别与罐容表标定 数学建模

记罐体中油量横截面积为S，则根据定积分

h?baS??b2?y2dy （1）

?bb油量的体积

ah?b2V?2L?b?y2dyb?ba?h?b12?2?L?(h?b)h(2b?h)?barcsin??b? （2） b?b2?h为油面高度，L为罐体长度。由于该体积公式在计算过程中并没有考虑到罐内

其他物体（出油管、进油管等）所占体积，所以，以此计算罐内油量体积是有误差的。以附件1中的无变位进油数据表进行计算和比较得到下图2。

图2实验采集油量、模型计算油量与油面高度关系

从图中可知，根据无变位进油数据表中的油面高度，按上述油量体积计算公式计算得到的油量与实验采集油量存在误差的。该误差（模型计算油量-实验采集油量）的散点图如下图3：

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图3 模型计算油量与实验采集油量的差

如图所示，误差随油面高度在变化。由于无法计算罐内其他物体（进油管、出油管等）所占体积，所以，采用最小二乘法，拟合油量误差与油面高度的关系。观察误差散点图，油量误差与油面高度的关系接近一条直线关系。设

E?模型计算油量?实验采集油量?ah?b

通过Matlab中的函数polyfit，可以得到a?134933.4253，b??12030833.1729 这样一来就得到校正了误差油量计算模型：

a?h?b12?2V修正后?L?(h?b)h(2b?h)?barcsin??b?b?b2? （3） ?134933.4253h+12030833.1729

以附件1中的无变位进油数据表再进行计算和比较得到下图4。从图中可以直观地观察到，修正后模型计算油量与实验采集油量比较吻合。

图4实验采集油量、修正模型计算油量与油面高度关系

5.1.2储油罐变位情形

假设油罐沿椭圆柱体中心线倾斜?度角，油面高度为h（米），如图5所示。此

x2y2时，储油罐罐体底面方程：2?2?1，罐内油体在坐标面YOZ上的投影为一

ab个直角梯形。可知梯形的上底l1?h?2.05tan?, 下底l2?h?0.4tan?。

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为了计算油体体积，沿椭圆柱体中心线上任取一点t（0?t?LL为椭圆柱体的长度），过t点做垂直于椭圆柱体中心线的平行于上下底面的平面，该平面与油体的横截面面积可能是一个椭圆，可能是椭圆的部分，也可能截面面积为零。如图所示。

当0?h(t)?1.2时，h(t)?h?0.4tan?，横截面面积

y

x z

S(t)?2??z(t)?ba2b?y2dyba?z(t)?2?222z(t)b?z(t)?barcsin()?b? （4） ?b?b2?其中z(t)?h(t)?b ，h(t)?h?(0.4?t)tan?。

所对应的油体体积可由

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V中??S(t)dtl1t2?l2

h?0.4t?a?nta?n1.2，

计算出。l1?max?0,t1?，l2?min?L,t2?，其中t1?h?0.4tan?。当t1?0时，平面z?t1与罐内油体的横截面是一个椭圆，其面

tan?积为?ab，从t?0到t?t1所对应油体体积由

V前??abt1

计算出。当t2?L时，平面z?t2与罐内油体不相交，所以横截面面积为零，因此所对应的油体体积为零。所以，当罐体纵向倾斜?度时，罐内油体体积与油面高度的关系为

V?sgnl1?V前?V中 （5）

其中sgnx为符号函数。由于该体积公式在计算过程中并没有考虑到罐内其他物体（出油管、进油管等）所占体积，所以，以此计算罐内油量体积是有误差的。以附件1中的变位进油数据表进行计算和比较得到下图6。

图6储油罐变位时，实验采集油量、模型计算油量与油面高度关系 从图中可知，根据变位进油数据表中的油面高度，按上述油量体积计算公式计算得到的油量与实验采集油量存在误差的。该误差（模型计算油量-实验采集油量）的散点图如下图7：

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