全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 放缩法证明数列不等式

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例9：已知数列

?an?的各项均为正值，对

?n?N?，

2an?1?1?4an?an?1?,bn?log2?an?1?，且a1?1

（1）求数列an,bn的通项公式

??（2）当k?7且k?N时，证明对?n?N，都有

111???bnbn?1bn?2?1bnk?1?3成立 22解：（1）an?1?1?4an?an?1?

222?an?1?4an?4an?1?an?1??2an?1? 由an?0可得：

2?an?1?2an?1

?an?1?1?2?an?1?

??an?1?为公比是2的等比数列 ?an?1??a1?1??2n?1?2n ?an?2n?1 bn?n

11113?????左边含有两个变量，考虑通nn?1n?2nk?121113??过消元简化所证不等式。设Tk??，则只需证明：?Tk?min?，易知Tknn?1nk?1211133???，左边共7n项，结合的为递增数列。所以只需证明k?8，即?nn?18n?12211111n1特点可考虑将7n项分为3组：????????

nn?12n?12n2n2n2（2）思路：所证不等式为：

n个n个11??2n2n?12n个?11??4n?14n11??8n?18n?2n个11?4n211?，再求和即证不等式 8n21bnk?1?3由（1）可得： 211??4n4n?14n个??4n个解：所证不等式

111???bnbn?1bn?2??111???nn?1n?21311?1? 只需证：????nk?12?nn?1n?2?1?3 ??nk?1?min2全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编

设Tk?11??nn?1?1 nk?1 ?Tk?1?Tk?? ??11???nn?111??nknk?1???111?????n(k?1)?1??nn?1?1?0

nk?n?1?1?? nk?1???Tk?为递增数列 k?8

??Tk?min?T8?11??nn?1?111? ?只需证?8n?1nn?1?13? 8n?1211??nn?1而

?1?1???8n?1?n?1??1????2n?1??2n?1??1????4n?1??4n?1?? 8n?1?11??nn?1n个?11??2n?12nn个?1n1?? 2n2n211?4n211? 8n211??2n2n?12n个?11??4n?14n11??8n?18n?2n个11??4n4n?14n个??4n个11???nn?1?11113???? 8n?12222例10：数列?an?是公差不为零的等差数列，a5?6，数列?bn?满足：

b1?3,bn?1?b1b2bn?1

bn?1?1?bn

bn?1（1）当n?2时，求证：

（2）当a3?1且a3?N?时，a3,a5,ak1,ak2,① 求a3

,akn,为等比数列

111??② 当a3取最小值时，求证：?b1b2b3解：（1）由bn?1?b1b2?111??4????bn?ak1?1ak2?11?? ??akn?1?bn?1可得：bn?1?1?b1b2bn

?bn?1?b1b2bn?1?n?2,n?N??

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两式相除可得：

bn?1?1?bn

bn?1（2）① 思路：本题的突破口在于akn既在等差数列?an?中，又在等比数列

a3,a5,ak1,ak2,,akn,中，从而在两个不同风格的数列中akn均能够用a3进行表示，然后

便得到kn与a3的关系式，抓住kn,a3?N?的特点即可求出a3的值

a5?a36?a3? 226?a3akn?a3??kn?3??d?a3??kn?3??

2?an?为等差数列 ?d?另一方面，

a3,a5,ak1,ak2,,akn,n?1为等比数列 ?q?a56? a3a3?6??akn?a3?qn?1?a3????a3??6?a3????a3?n?1

?a3??kn?3??6?a3 2??6?n?1???6?n?1???6?n?1?a3????1?2a3????1?????1?aa???????3??3??a3???????

?kn??3?3??3?2?6?a366?a3?12a3??6?n?1?????1?a????3??可视为以1为首项，6为公比的等比数列前n?1项和

??6a3?1a3?6?kn?3?2?1??a3???6?????a3?n??6??5?2??a????3?6?????a3?n?6?????a3?n?? ???6??kn?N ??n?N,2??a??3???N a3?N? ???a3能够被6整除 a3?1且a3?a5?6 ?a3?2或a3?3

经检验：a3?2或a3?3均符合题意

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② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，

bn?1?1?bn，akn?2?3n?1，所以对于

bn?1右侧，

111显然无法直接找到求和方法。而对于，虽然没有通项公式，?n?1bnakn?12?3?1bn?1?1111?bn向可求和的方式进行变形，得到???n?2?，从而可

bn?1bnbn?1bn?1?1111???b1b2b3?121。对于右侧??bn3b1b2bn但可对

想到利用裂项相消的方式进行求和，得到

11??ak1?1ak2?1?111只能考虑进行放缩，针对的特点可向等?akn?1akn?12?3n?1?1111。所以??n?1n?1akn?12?3?13比数列靠拢，结合不等号方向可得：

11??ak1?1ak2?1n11??1?????1????。于是所证的不等式就变为只需证明akn?16???3???2122121即证明考虑对进行放缩，抓住b1?3???n?1，?n?1，

3b1b2bn33b1b2bn3b1b2bn这个特点，由已知可得?bn?为递增数列，则bn?3，但右侧为证明，所以要对

23n?1?21?，无法直接放缩33n1b1b2bn的放缩进行调整，计算出b1,b2,b3可得

12?4，进而b1b2b331b1b2bn?11212??4?n?3?n?1，但此时只能证明n?4时，不等式成立。对b1b2b3b4bn333于n?1,2,3有限的项，逐次验证即可。 由（1）可得：

bn?1?1?bn

bn?1bn?bn?1??bn?1?1?11?

bn?bn?1?bn?1?1?111?? bn?1bnbn?1?1