2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测(2)第2章 函数、导数及其应用（附答案）

www.ewt360.com 升学助考一网通 (－k，＋x f′－ (x) f(x) 0 4k2e－1 0 ＋ 0 － (－≦， k) k (k，－k) －k ≦) 所以f(x)的单调递减区间是(－≦，k)和(－k，＋≦)；单调递增区间是(k， －k).

(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e1f(x)≤. e

4k2

当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋≦)上的最大值是f(－k)＝.

e14k211

所以?x∈(0，＋≦)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤，解得－≤

eee2k＜0.

11

故对?x∈(0，＋≦)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0).

e218.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，

?y与x的函数关系式为 y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0

k?1k1

＞，所以不会有?x∈(0，＋≦)，e

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12

(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0得x1＝，x2＝－(舍)，

2311

当00；

22

1

?函数y＝5a(1＋4x－x－4x)(0

2

2

3

1

故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋)＝30元时，旅游部门销售

2该纪念品的月平均利润最大.

【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ m

【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，即n＝－1，

x所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x mm

＝256(－1)＋(2＋x)x

xx256m＝＋mx＋2m－256.

x

3256m1－1m2(2)由(1)知，f′(x)＝－2＋mx＝2(x2－512).

x22x

32令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64，

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当00，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时， m640

n＝－1＝－1＝9， x64

故需新建9个桥墩才能使y最小.

19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋≦)上为增函数，可得－m2＋2m＋3>0，再由f(x)为偶函数得m的值.

(2)g(x)仅在x＝0处有极值，则意味着g′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.

【解析】(1)≧f(x)在区间(0，＋≦)上是单调增函数， ?－m2＋2m＋3>0即m2－2m－3<0， ?－1

而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数， ?f(x)＝x4.

14923

(2)g(x)＝x＋ax＋x－b，

42g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，

显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根.

为使g(x)仅在x＝0处有极值，则有x2＋3ax＋9≥0恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]. 这时，g(0)＝－b是唯一极值，?a∈[－2,2].

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13

20.【解析】(1)≧g(x)＝(x－1)2＋，x∈[0,3]，

223

当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝；

27

当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝，

237

故g(x)在[0,3]上的值域为[，].

22

1

(2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，f′(x)<0，f(x)单调递减，

e1

当x∈(，＋≦)，f′(x)>0，f(x)单调递增.

e1

①0

e

111②0

e

11③≤t

所以f(x)min

??

＝?1??tlnt，t≥e

11－，0

.

x2

(3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnx>x－(x∈(0，＋≦))，

ee1

由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋≦))的最小值是－，当且仅当x

e

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1

＝时取到； e

x2

设m(x)＝x－(x∈(0，＋≦))，

ee1－x

则m′(x)＝x，

e

1

易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，

eg′(x)＋12

＋≦)，都有xlnx>－成立.

exe

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