2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测(2)第2章 函数、导数及其应用（附答案）

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价提高的百分率为x(0

(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

19.(14分)已知幂函数f(x)＝x－m＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数. (1)求函数f(x)的解析式；

1923

(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax＋x－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数

42g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.

1

20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x2－x＋a.

2(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

g′(x)＋12

(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.

exe

2

答案解析

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1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D. 2.【解析】选B.≧f(－2)＝－a·23－2b－3＝－(a·23＋2b)－3＝7， ?a·23＋2b＝－10，

?f(2)＝a·23＋2b－3＝－10－3＝－13.

3. 【解析】选A.≧g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ?|g(x)|的图象关于y轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，?f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系

(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性. (2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.

4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a的取值范围，再判断函数g(x)＝loga(x＋1)的图象.

【解析】选D.由题可知0

3x?x∈(3，＋≦)时，y＝f(x)单调递增；

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x∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减. 1

而0＜＜1＜e＜3，

e

111e

又f()＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，

e3e331

?在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.

e

1

【一题多解】选D.令g(x)＝x，h(x)＝lnx，如图，作出g(x)与h(x)

31

在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(，1)内无交点，在(1，

ee)内有1个交点，故选D.

??4x－4，x≤1

【变式备选】已知函数f(x)＝?2

??x－4x＋3，x＞1

，则关于x的方

程f(x)＝log2x解的个数为( ) (A)4 (B)3 (C) 2 (D)1

【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝log2x的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.

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6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋≦)， ≧(ax)′＝axlna，(xex)′＝ex＋xex，导函数的定义域为R， ?排除选项A，C.

由图象知导函数的值是先负后正，

1

又(logax)′＝，导函数的符号与参数a有关，

xlna排除B，故选D.

7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， π

当x∈(0，]时，f′(x)＝sinx＋xcosx＞0，

2π

?f(x)在(0，]上单调递增.

2

又f(x1)＞f(x2)?f(|x1|)＞f(|x2|)?|x1|＞|x2|?x12＞x22. 8.【解析】选B.≧f(a)>－1，?g(b)>－1， ?－b2＋4b－3>－1，?b2－4b＋2<0， ?2－2

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