工程问题的方程（详解）

五、工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间×工作效率=工作总量（单位1）

1如：一项工程甲队需30天完成任务，则甲每天完成工作量的1/30，则工作

3011效率为1/30；如果乙队需要20天完成任务，则甲每天完成工作量的1/20，

20301则工作效率为1/20 ，两人一起可以完成（1/20+1/30）——工作效率之和

201、 某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。设需要x小时两人合作可以完成，（牢记公式：工作效率（包括工作效率之和）×工作时间＝工作总量）则可列方程： （1/6 + 1/8）x＝1

2、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？.

（分析：甲乙队合作之前，由甲队单独已完成的工作量为5×1/30；甲乙合作之后的工作效率之和为1/30 + 1/20；则可设他们需要合作x天。）

解：设甲、乙两队需要合作x天，可完成剩下的所有工作，根据题意，得： 5×1/30 +（1/30 + 1/20）x＝1 5/30 + 5/60x＝1

5/60x＝1-5/30 5/60x＝25/30

x＝25/30÷5/60 x＝25/30×60/5 x＝10

（检验：5×1/30 + 10×1/30 + 10×1/20＝1，符合题意。） 答：甲、乙两队需要合作10天，可完成剩下的所有工作.

3、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？ （分析：甲、乙合作4天所完成的工作量为(1/10 + 1/15)×4，若设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，则合作之后乙单独完成的工作量为1/15x） 答：设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，根据题意，得： （1/10 + 1/15）×4 + 1/15x＝1

5/30×4 + 1/15x＝1 20/30 + 1/15x＝1

1/15x＝1-20/30 1/15x＝10/30

x＝10/30÷1/15 x＝10/30×15 x＝5

(检验：1/10×4 + 1/15×4 + 1/15×5＝1符合题意。) 答：剩下的部分由乙单独做需要5天完成.

4、某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？ （分析：工作总量单位为1，这道题涉及到的是总工程的5/6）

解：设两队合做，再做x天后可完成工程的六分之五，根据题意，得： 1/16×4 + (1/16 + 1/12)x＝5/6

4/16 + 7/48x＝5/6

7/48x＝5/6 - 4/16 7/48x＝28/48

x＝28/48÷7/48 x＝28/48×48/7 x＝4

（检验：1/16×4 + 1/16×4 + 1/12×4

＝1/4 + 1/4 + 1/3 ＝1/2 + 1/3

＝5/6 符合题意。）

答：两队合做，再做4天后可完成工程的六分之五.

5.已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；

（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？ 答：单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的1/15。

（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？ 答：单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的1/24。

（3）如果将两管同时打开，每小时的效果如何？如何列式？ （分析：工作效率之和为1/15 – 1/24） 解：设时间为x小时，根据题意，得： 当x＝1时，（1/15–1/24）x＝（1/15–1/24）×1＝8/120–5/120＝3/120＝1/40 答：如果将两管同时打开，每小时池子的进水量为1/40.

（4）对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？

分析：进水管先打开2小时，注入的水量为1/15×2；再同时打开两管，注入的水量为若设时间为x，则注入水量为（1/15–1/24）x，前后注水量的总和等于注满水池的量（即单位1）.

解：设注满水池还需要x小时，根据题意，得： 1/15×2+（1/15–1/24）x＝1

2/15+1/40x＝1

1/40x＝1-2/15 1/40x＝13/15

x＝13/15÷1/40 x＝13/15×40

x＝104/3

答：注满水池还需要104/3小时。

6.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开

乙管，5小时注满水池。

① 如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把

水池注满？

（分析：本题中涉及到小时与分钟的换算20分钟等于1/3小时，除此之外，同前面几道题的解题思路相同。）

解：设还需要x小时才能把水池注满，根据题意，得： （1/2.5 + 1/5）×1/3 + 1/5x＝1

3/5×1/3 + 1/5x＝1

1/5 + 1/5x＝1

1/5x＝1 - 1/5 1/5x＝4/5

x＝4/5÷1/5 x＝4/5×5 x＝4

（检验：1/2.5×1/3 + 1/5×1/3 + 1/5×4

＝2/15 + 1/15 + 4/5 ＝3/15 + 4/5

＝1 符合题意。）

答：还需要4小时才能把水池注满.

② 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三

管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？

（分析：三管的工作效率之和＝1/2.5 + 1/5–1/3）

解：设三管同时开放，x小时才能把一空池注满水，根据题意，得： （1/2.5 + 1/5–1/3）x＝1 （2/5 + 1/5–1/3）x＝1

（3/5–1/3）x＝1 （9/15–5/15）x＝1

4/15x＝1

x＝1÷4/15 x＝1×15/4

x＝15/4（15/4＝3 + 3/4＝3 + 45/60，结论为：3小时45

分钟）

∴答案是3小时45分钟

答：三管同时开放，3小时45分钟时才能把这个空池注满水。

7.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现计划由一部分人先做4小时，再

增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。

提示：工作效率×工作时间×工作人数=工作总量（单位1），因此，若第一时间段安排了x个人工作，则第一工作时间段的工作量为1/40×4x；第二工作时间段的工作量为1/40×8(x+2)。 解：先安排了x个人工作，根据题意，得： 设1/40×4x + 1/40×8(x+2)＝1

4/40x + 8/40(x+2)＝1

4/40x + 8/40x + 8/40×2＝1 4/40x + 8/40x + 16/40＝1

4/40x + 8/40x＝1 - 16/40

12/40x＝24/40

x＝24/40÷12/40 x＝24/40×40/12 x＝2

答：先安排了2个人工作.