(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练12 圆锥曲线 理

x2y2

8．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异

ab于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0)．过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|＝b的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1，2) C．(2，＋∞) 答案 C

解析 |F1F2|＝2c(c＝a＋b)，

设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I， 则|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|. 由双曲线的定义知

2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|， 又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c， 故|F1H|＝c＋a，|F2H|＝c－a， 所以H(a,0)，即a＝2. 注意到这样的事实：

若直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 2b2

则当l⊥x轴时，|AB|有最小值＝b；

2

2

2

2

2

B．(1,2) D．(2，＋∞)

a若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)， 则当l⊥y轴时，|AB|有最小值2a，于是， 由题意得b>2a＝4，b>2，c＝a＋b>22， 所以双曲线的离心率e＝>2.故选C.

9．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)设抛物线y＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． 答案 2

?y＝4x，?

解析 由?

??3x＋4y＋12＝0，

2

2

2

2

2

2

ca

①

得3y＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故①无解， 所以直线3x＋4y＋12＝0与抛物线是相离的． 由d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，

5

而d1＋1为P到准线x＝－1的距离， 故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，

从而d1＋1＋d2的最小值为焦点到直线3x＋4y＋12＝0的距离故d1＋d2的最小值为2.

10．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C：y＝2px(p>0)，过其焦点F→→

的直线l交抛物线于A，B两点，若AF＝3FB，且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 答案 6

解析 抛物线y＝2px(p>0)的准线为l′：x＝－，

2如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，

分别过点A，B作AP⊥l′，BQ⊥l′，垂足为P，Q，

2

2

|1×3＋0×4＋12|

3＋4

2

2

＝3，

p

过点B作BD⊥AP交AP于点D， 则|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|， 3

∵|AF|＝3|BF|＝|AB|，

4

1

∴|AP|－|BQ|＝|AD|＝|AF|－|BF|＝|AB|，

21

在Rt△ABD中，由|AD|＝|AB|，

2可得∠BAD＝60°，

∵AP∥x轴，∴∠BAD＝∠AFx＝60°， ∴kAB＝tan 60°＝3， 直线l的方程为y＝3?x－?，

?2?设M点坐标为(xM，yM)，

?

p? 6

y3?＝－?x－73，由?y?x＋7－p?，＝3??2??2??2

MMMM

373?p?可得xM＝p－，yM＝?7－?，

2?422?代入抛物线的方程化简可得

3p－4p－84＝0，解得p＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.

2

?25?

11．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点?1，?，且C的一个焦点坐标为

5??

(2,0)，则C的标准方程为________． 答案

x2

5

＋y＝1

2

解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a＝＝

42

?1＋2?＋＋5

42

?1－2?＋

5

75＋35

＝25， 5

所以a＝5，因为c＝2，所以b＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为＋y＝1.

5

12．在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆x＋y＝1的交点N为点

2

2

x2

2

M的“中心投影点”．

(1)点M(1，3)的“中心投影点”为________；

(2)曲线x－＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．

34π3??1

答案 (1)?，? (2)

3?22?

解析 (1)|OM|＝1＋?3?＝2，|ON|＝1， 3??1→1→

所以ON＝OM，则N点坐标为?，?.

2?22?

(2)双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点

3π

是单位圆上夹在两渐近线之间的与x轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为，因此弧324π

长为2×π×1＝.

33

7

2

2

2

2

y2

y2

y2

13．已知点F1，F2分别是双曲线C：x－2＝1(b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双

b2

曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的半焦距的取值范围为____________． 答案 ?1，

??17?? 3?

解析 由|F1F2|＝2|OP|可得△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，tan∠PF2F1≥4， 即|PF1|≥4|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， 2

又|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF2|≤a，

3

17?2?2222222

由(|PF2|＋2a)＋|PF2|＝4c化为(|PF2|＋a)＝2c－a≤?a＋a?，可得c≤，

3?3?又双曲线中c>a＝1，

所以双曲线C的半焦距的取值范围为?1，

2

2

2

2

?

?17??. 3?

14．(2018·威海模拟)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段

PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为

________． 答案

π 3

解析 如图所示，分别过P，Q作抛物线准线的垂线，垂足为A，B，

设|PF|＝2a，|QF|＝2b，

由抛物线定义，得|PF|＝|PA|，|QF|＝|QB|， 在梯形ABQP中，2|MN|＝|PA|＋|QB|＝2a＋2b， ∴|MN|＝a＋b.

若PQ过焦点F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝2a＋2b， 又|MN|＝a＋b，且|MN|＝|PQ|， ∴2a＋2b＝a＋b， ∴a＋b＝0，显然不成立，

8