(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练12 圆锥曲线 理

8＋6分项练12 圆锥曲线

1．(2018·大连模拟)设椭圆C：＋y＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交

4于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是( ) A.(2，4) C.(6，8) 答案 C

解析 根据椭圆对称性得△AFB的周长为

|AF|＋|AF′|＋|AB|＝2a＋|AB|＝4＋|AB|(F′为右焦点)， 422

由y＝kx，＋y＝1，得xA＝2，

41＋4k∴|AB|＝1＋k·2|xA|＝4

2

x2

2

B.(6，4＋23) D.(8，12)

x2

1＋k2 1＋4k2＝4

341＋2∈(2,4)(k≠0)， 41＋4k即△AFB周长的取值范围是(4＋2，4＋4)＝(6，8).

x22

2．(2018·烟台模拟)已知双曲线2－y＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线

a方程是( ) A．y＝±

3

x 3

B．y＝±3x D．y＝±

3x 2

23

C．y＝±x

3答案 A

x22

解析 由双曲线2－y＝1(a>0)的两焦点之间的距离为4，可得2c＝4，所以c＝2，

a又由c＝a＋b，即a＋1＝2，解得a＝3， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±

2

2

2

2

2

2

ba3x. 3

3．(2018·重庆模拟)已知抛物线y＝4x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M，N两点，与抛物线的准线交于P，Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是( ) A．163 B．123 C．43 D．3 答案 A

1

解析 根据题意，四边形MNPQ为矩形， 可得|PQ|＝|MN|，

从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离是相等的，

所以M点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M为x轴上方的交点， 从而求得M(3,23)，N(3，－23)， 所以|MN|＝43，|NP|＝4，

从而求得四边形MNPQ的面积为S＝4×43＝163.

x2y2

4．(2018·重庆模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF2

ab为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为( ) A.C.

2＋36

232＋6

2

B.D.

2＋6

232＋26

2

答案 C

c3c解析 根据题意，有|AM|＝，|MF1|＝，

22

π

因为AF1与圆M相切，所以∠F1AM＝，

2所以由勾股定理可得|AF1|＝2c， 所以cos∠F1MA＝

1＝， |F1M|3|AM|

1c所以cos∠AMF2＝－，且|MF2|＝，

32由余弦定理可求得

|AF2|＝

c2c2

cc?1?6＋－2···?－?＝c， 4422?3?3

2c2c－32＋6

＝.

26c3

2c所以e＝＝2a?1?222

5．已知点P在抛物线y＝x上，点Q在圆?x＋?＋(y－4)＝1上，则|PQ|的最小值为( )

?2?

A.

35

－1 2

B.33

－1 2

C．23－1 答案 A

D.10－1

2

解析 设抛物线上点的坐标为P(m，m)．

2

?1?圆心?－，4?与抛物线上的点的距离的平方 ?2?

d2＝?m＋?2＋(m－4)2＝m4＋2m2－8m＋.

2

??

2

1??

654

6542

令f(m)＝m＋2m－8m＋，

4则f′(m)＝4(m－1)(m＋m＋2)，

由导函数与原函数的关系可得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f(1)＝

45

，由几何关系可得|PQ|的最小值为4

4535－1＝－1. 42

2

π

6．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆

4和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 12

A. B. C．1 D.2 22答案 B

解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2， 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2， 半焦距为c，P为第一象限内的公共点，

?|PF1|＋|PF2|＝2a1，?则???|PF1|－|PF2|＝2a2，

解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，

π222

所以4c＝(a1＋a2)＋(a1－a2)－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos ，

4所以4c＝(2－2)a1＋(2＋2)a2， 2－22＋2

所以4＝2＋2≥22－22＋222

×＝， 222

2

2

e1e2e1e2e1e2

所以e1e2≥

2

，故选B. 2

x2y2

7．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB3m＝120°，则m的取值范围是( ) A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) 答案 A

3

B．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)

解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0

过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 3＋x＝

|y|＋3－x|y|

＝23|y|

2. 1－3＋x3－xx＋y2

－3|y|·

|y|

又tan∠AMB＝tan 120°＝－3，

且由x2y222

3y3＋m＝1，可得x＝3－m，

则

23|y|＝23|y|

＝－3－3y2

3. ＋y2－3??3?1－m???

y2

m解得|y|＝

2m3－m. 又0<|y|≤m，即0<2m3－m≤m，

结合0

对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.

方法二 当0

bm≥3，

解得0

当m>3时，焦点在y轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则amb≥tan 60°＝3，即

3

≥3，解得m≥9.

故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.

4