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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)； (2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)； (3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
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例.已知
a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca，
则
?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：
a2?b2?c2?ab?bc?ca?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca
?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
am?an?bm?bn(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b)
解：原式=
例2、分解因式：
2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)
=2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
解：原式=
1
练习：分解因式1、
a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：
x2?y2?ax?ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
(x2?y2)?(ax?ay)
=(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
解：原式=
a2?2ab?b2?c2
222 解：原式=(a?2ab?b)?c
例4、分解因式：
(a?b)2?c2
=(a?b?c)(a?b?c)
=
练习：分解因式3、
x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz
x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b
22222（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a
4322222（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by
2222（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1 （9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)
333222（11）a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?2abc（12）a?b?c?3abc
综合练习：（1）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——
x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知0＜
a≤5，且a为整数，若2x2?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求于是
??9?8a为完全平方数，a?1
x2?5x?6??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
解：
2
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
x2?7x?6
解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1 =(x?1)(x?6) 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5
练习6、分解因式(1)x2?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x2?10x?24
（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2?bx?c
条件：（1）a?a1a2 a1 c1
（2）c?c1c2 a2 c2
（3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1
分解结果：ax2?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
例7、分解因式：3x2?11x?10
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11
解：
3x2?11x?10=(x?2)(3x?5)
练习7、分解因式：（1）5x2?7x?6 （2）3x2?7x?2
（3）
10x2?17x?3 （4）?6y2?11y?10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
a2?8ab?128b2
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)
=(a?8b)(a?16b)
练习8、分解因式(1)
x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
2x2?7xy?6y2 例10、x2y2?3xy?2
3
1 -2y 把
xy看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=
(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)
练习9、分解因式：（1）
综合练习10、（1）（3）
15x2?7xy?4y2 （2）a2x2?6ax?8
8x6?7x3?1 （2）12x2?11xy?15y2
(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3
222222（5）xy?5xy?6x （6）m?4mn?4n?3m?6n?2
222（7）x?4xy?4y?2x?4y?3（8）5(a?b)?23(a2?b2)?10(a?b)2
222（9）4x?4xy?6x?3y?y?10（10）12(x?y)?11(x2?y2)?2(x?y)2
思考：分解因式：
五、换元法。 例13、分解因式（1）
abcx2?(a2b2?c2)x?abc
2005x2?(20052?1)x?2005
（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2
22解：（1）设2005=a，则原式=ax?(a?1)x?a =(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
222 原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x
22设x?5x?6?A，则x?7x?6?A?2x
222∴原式=(A?2x)A?x=A?2Ax?x
=
(A?x)2=(x2?6x?6)2
22222练习13、分解因式（1）(x?xy?y)?4xy(x?y)
22（2）(x?3x?2)(4x?8x?3)?90
2（3）(a?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2
例14、分解因式（1）
2x4?x3?6x2?x?2
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=
x1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx11?t，则x2?2?t2?2 设x?xxx2(2x2?x?6?4
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