2016年山东省高考数学试卷(文科)(含详细答案解析)

x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，分）

（2）由（1）知，f′（1）=0． ①当0＜a＜时，

＞1，由（1）知f′（x）在（0，

）内单调递增，

），单调减区间为（

，+∞）．…（6

可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意． ②当a=时，

）时，f′（x）＞0．

）内单调递增，

=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，

所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意． ③当a＞时，0＜当x∈（

＜1，f（x）在（0，

）上单减，

，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．

综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分）

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

21．（14分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．

（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明

第21页（共23页）

的长轴长为4，焦距为．

为定值；

（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．

【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可； （Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可；

（ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知所以

．所以椭圆C的方程为

．

，

（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）， 由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）． 所以直线PM的斜率k1=此时

=﹣3．所以

=

，直线QM的斜率k2=

=﹣

，

为定值﹣3．

（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=﹣3kx+m． 联立

整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0．

由，可得，

所以．同理．

所以，

第22页（共23页）

，

所以所以此时

，等号当且仅当，即

，

．由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 时取得，

所以直线AB 的斜率的最小值为．

【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题．

第23页（共23页）