数值分析原理第四章

２ 三弯矩构造算法

设S''(xi)?Mi(i?0,1,?,n)，在区间[xi?1,xi]上S''(x)为线性函数，即有

S''(x)?Mi?1x?xix?xi?1x?xx?xi?1?Mi?Mi?1i?Mi

xi?1?xixi?xi?1hihi对S''(x)积分两次，并利用插值条件S(xi?1)?f(xi?1)和S(xi)?f(xi)确定积分常数，得

(xi?x)3(x?xi?1)3S(x)?Mi?1?Mi?

6hi6hi?Mi?1hi2?xi?x?Mihi2?x?xi?1? ?f(xi?1)?6??h???f(xi)?6??hi??i??n?1n利用S'(x)在内节点?xi?i?0处的连续性，得到含?Mi?i?0的n?1个约束方程．引入记号

??ihihi?1,?i?则有

hi?hi?1 hi?hi?1

?iMi?1?2Mi??iMi?1?6f[xi?1,xi,xi?1] (i?1,2,?,n?1) (4.47)

对于第二类边界条件，已知M0,Mn，进而有方程组(4.47)求的其它参数?Mi?i?1．对于第一类边界条件S'(x0)?m0和S'(xn)?mn，可得到两个附加约束方程

n?1对于周期性边界条件,可将方程组写为

h1m?f[xn?1,xn]Mn?1?2Mn?6nhn

2M0?M1?6f[x0,x1]?m0

?0??M0???f[x0,x1]?f[xn?1,xn]??h1?hn???2?0????M???2?f[x,x,x]111012?????????M2????22?2f[x1,x2,x3]?6??????

??????????????n?22?n?2??Mn?2??f[xn?3,xn?2,xn?1]???????n?12?f[xn?2,xn?1,xn]????n?1???Mn?1?????式中?0?hnh1, ?0?．

h1?hnh1?hn用追赶法求解方程组，在每个区间[xi?1,xi]上将解出的Mi?1和Mi回代就得到三次样条插值函数S(x)在该区间上的表达式．

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知识框架图

??Lagrange插值法?Lagrange型插值?Newton插值法??代数插值?

Hermite插值?Hermite型插值????样条插值?习题四

1 分别用Lagrange插值和Newton插值建立过点(?2,?1), (0,1), (3,?2), (5,8)的三次插值

公式．

2 已知函数y?cosx的如下数据

xk cos xk 0.33 0.946 042 0.37 0.932 327 0.41 0.917 121 0.52 0.867 819 构造差商表，并用三次插值公式计算cos(0.45)的近似值(保留4位有效数字)． 3 已知单调连续函数y?f(x)的下列数据

xk f (xk) ?0.8 ?1.15 0.0 ?0.87 1.2 1.8 1.00 2.21 试求方程f(x)?0的近似根(保留4位有效数字)．

x4 设f(x)?e(0?x?1)，试建立一个二次插值多项式p(x)，使它满足如下条件

p(0)?f(0),p'(0)?f'(0),p(1)?f(1),p'(1)?f'(1)

并给出插值余项．

5 设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数，且f(a)?f(b)?0，求证

1maxf(x)?(b?a)2maxf''(x) a?x?ba?x?b86 已知f(x)的如下数据

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xk f (xk) f' (xk) 1 2 2 4 3 12 3 试建立满足插值条件P(xi)?f(xi) (i?1,2,3)以及P'(2)?f'(2)的插值多项式P(x)，并写出插值余项表达形式．

7 用数学归纳法证明差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n，有

f[x0,x1,?,xn]??8 证明等距节点上差分与差商满足关系

f(xi) '?(x)i?0n?1in?nfif[xi,xi?1,?xi?n]?．

n!hn9

li(x) (i?0,1,?n)分别是是互异节点?xi?i?0处的Lagrange插值基函数，证明

n?xl(x)?xkjjj?0nk ( k?0,1,?n)

10 （数值试验）设f(x)?1，分别利用区间[?5,5]4等分点、6等分点、8等分点和1021?x等分点构造四次、六次、八次和十次的插值多项式，并用MATLAB软件绘出它们的图像，观察随着次数的增加，近似效果会有怎样的变化？

11 （数值试验）利用如下数据建立f(x)在区间[0,3]上的三次样条插值函数

xk f (xk) f' (xk)

0 0 1 1 2 3 6 0 3 4

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