数值分析原理第四章

则g1(x)可以表示成这些基函数与函数值的线性组合，即g1(x)??y?(x)．

jjj?0nn分段线性插值多项式的余项可以通过线性插值多项式的余项进行估计．

定理4.3 设有节点a?x0?x1???xn?b及相应的函数值?yi?i?0，f\(x)在[a,b]上存在，g1(x)是基于点集?(xi,yi)?i?0对f(x)的分段线性插值多项式，则有插值误差估计

nh2M (4.40) R(x)?f(x)?g1(x)?8其中h?maxxi?xi?1,M?maxf(x)．

1?i?na?x?b''证明 根据式(4.5)，在每个区间[xi?1,xi] (i?1,2,?n)上g1(x)的插值余项为

Ri(x)?其中?i?(xi?1,xi)．取绝对值

1''f(?i)(x?xi?1)(x?xi) 2!1''f(?i)?(x?xi?1)(x?xi)2!

11 ?maxf''(x)?(xi?xi?1)22!xi?1?x?xi4Ri(x)?因此，在整个区间[a,b]上，设h?maxxi?xi?1,M?maxf''(x)

1?i?na?x?bh2R(x)?maxRi(x)?M

1?i?n8从而定理得证．

类似地，可构造分段二次插值函数g2(x)．将整个区间[a,b]分成n(n为偶数)个小区间，在区间[x2i,x2i?2] (i?0,1,?,n?1)上，g2(x)的表达式为 2g2(x)?

(x?x2i?1)(x?x2i?2)(x?x2i)(x?x2i?2)y2i?y2i?1(x2i?x2i?1)(x2i?x2i?2)(x2i?1?x2i)(x2i?1?x2i?2)(x?x2i)(x?x2i?1)y2i?2(x2i?2?x2i)(x2i?2?x2i?1) (4.41)

?类似定理4.3证明，可推出分段二次插值的插值余项为

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h3R(x)?f(x)?g2(x)?M

12其中h?maxx2i?2?x2i,M?maxf(x)．

a?x?b'''分段插值函数虽在插值节点上连续，但在节点上导数不一定存在，故光滑性比较差．但从整体而言，能对被插值函数达到较好的近似，特别是将区间划分的足够多，足够细时更是如此．

二、 分段Hermite插值

4.5节的例4.4构造了两点三次Hermite插值多项式，结合分段插值的思想可以构造分段三次Hermite插值，即在每个小区间[xi?1,xi]上构造两点三次Hermite插值S3(x)．相应的插值条件为

? S3(xi)?yi (i?0,1,2,?n) ?'? S3(xi)?mi在区间[xi?1,xi] (i?1,2,?n)上，利用错误！未找到引用源。式，将节点x0,x1替换为

xi?1,xi就得到分段三次Hermite插值多项式，

??x?xi?1??x?xi?x?xi??x?xi?1?S3(x)??1?2?yi?1??1?2?yi????x?xx?xx?xx?xi?1i??i?1i?ii?1??ii?1????x?xi??x?xi?1? ?(x?xi?1)?m?(x?x)?i?1?mii??xi?1?xi??xi?xi?1?2222 (4.42)

S3(x)具有以下性质

(1) S3(x)在区间[a,b]上是连续函数；

(2) 在插值节点xi上，S3(xi)?yi, S3'(xi)?mi；

(3) 在每个小区间[xi?1,xi] (i?1,2,?n)上，S3(x)是不超过三次的多项式．

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虽然S3(x)对f(x)有着比g1(x),g2(x)更好的近似效果，但构造S3(x)时不仅需要每个节点上函数值还需要每个节点上的导数值，过多的数据要求限制了它在工程上的使用．工程中常采用不需要节点导数信息却依然能达到二阶光滑性的三次样条插值方法．

§4.7 三次样条插值

一、 三次样条插值函数的定义

?xi?i?0是区间[a,b]上的n?1个节点，若函数S(x)满足条件

(1) 在区间[a,b]上S(x)具有连续二阶导数；

(2) 在每个小区间[xi?1,xi] (i?1,2,3,?,n)上，S(x)是一个三次多项式； (3) 在节点处满足插值条件，即S(xi)?yi (i?0,1,2,?,n)． 则称S(x)为f(x)关于节点?xi?i?0的三次样条插值函数．

nn 在每个小区间上S(x)是三次多项式，则在每个小区间上需要确定4个待定系数．由于一共有n个小区间，故在整个插值区间上有4n个待定系数．依据三次样条插值函数的定义，共

有如下4n?2个约束

边界节点处： ??S(x0?0)?f(x0)

S(x?0)?f(x)nn??S(xi?0)?S(xi?0)?S'(x?0)?S'(x?0)?ii (i?1,2,3,?,n?1) 内节点xi处: ?''''S(x?0)?S(x?0)ii??S(xi)?f(xi)?要确定4n个待定系数, 还需附加2个约束条件．通常在[a,b]的边界上补充两个边界条件，

常见的补充条件有以下三种．

(1) 给定端点处的一阶导数值（转角边界条件），即

S'(x0)?m0, S'(xn)?mn (4.43)

(2) 给定端点处的二阶导数值（弯矩边界条件），即

S(x0)?M0, S(xn)?Mn''''

(4.44)

特别地, 当M0?Mn?0时，称该条件为自然边界条件． (3) 周期性边界条件

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''??S(x0?0)?S(xn?0) (4.45) ?''''??S(x0?0)?S(xn?0)

二、 三次样条插值函数的构造

1 三转角构造算法

设S'(xi)?mi，并利用已知节点?xi?i?0处函数值?yi?i?0，得到每个区间[xi?1,xi]上的三次Hermite插值多项式．

nn??x?xi?1??x?xi?x?xi??x?xi?1?Si(x)??1?2y?1?2?i?1??yi?????x?xx?xx?xx?xii?1??i?1i?i?1i??ii?1????x?xi??x?xi?1? (x?xi?1)?m?(x?x)?i?1?mii??xi?1?xi??xi?xi?1?

记hi?xi?xi?1，则上式可以写为

2222

Si(x)? ''(x?xi)2?hi?2(x?xi?1)?hi32yi?1?(x?xi?1)2?hi?2(xi?x)?hi32yi?

(x?xi)(x?xi?1)(x?xi?1)(x?xi)m?mii?1hi2hi2n?1n然后利用S(x)在每个内节点?xi?i?0处的连续性，得到含?mi?i?0的n?1个约束方程．引入记号?i?hi，?i?1??i，则内节点xi处基于二阶导数连续建立的方程为

hi?hi?1

?imi?1?2mi??imi?1?fi (i?1,?n?1) (4.46)

?yi?1?yiyi?yi?1?这里fi?3??i??i?．

hhi?1i??对第一种边界条件，已知m0和m1，可由式(4.46)解出其它的参数?mi?i?1．对于第二类边界条件，由S''(x0)?M0,S''(xn)?Mn得到两个附加的约束方程

n?1y1?y0h1?M0 h12y?yn?1hnmn?1?2mn?3n?Mn

hn22m0?m1?3用求解三对角方程的追赶法解出?mi?i?0．在区间[xi?1,xi]上，将mi?1和mi回代就得到三次样条插值函数S(x)在该段上的表达形式．

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