数值分析原理第四章

l2(x)?例4.1 对于y?(x?x0)(x?x1)

(x2?x0)(x2?x1)x，已知f(144)?12,f(169)?13,f(196)?14，用Lagrange线性和

二次插值多项式求165的近似值，并给出插值误差估计．

解 记x0?144，x1?169，x2?196；y0?12，y1?13，y2?14． 由于x?165处在x0和x1之间，以它们为插值节点的Lagrange线性插值多项式为

L1(x)?代入已知数据得

x?x0x?x1y0? y1

x0?x1x1?x0x?169x?144?13? ?2525165?169165?144?13??12.4

?2525L1(x)?12?所以

f(165)?L1(165)?12?以x0,x1,x2为插值节点的二次Lagrange插值多项式为

L2(x)?代入已知数据得

(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)y0?y1?y2

(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)

L2(x)?所以

(x?169)(x?196)(x?144)(x?196)(x?144)(x?169)?12??13??14

1300?6751404f(165)?L2(165)?12.8448

1?23?2由于f?(x)?，f??(x)??x，f???(x)?x．故由式(4.5)可知，在x?165处线

482x性插值多项式的余项

13511R(165)?f??(?)(165?144)(165?169)?maxf??(x)?4812!2144?x?169

1 ?f??(144)?48?4.1667?10?22同理在x?165处二次插值多项式的余项

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1f(?)(165?144)(165?169)(165?196)3! 11?4?maxf???(x)?1488?f???(144)?1488?6.5406?106144?x?1966R2(165)?§4.3 Newton插值

当插值节点逐个增加时，考察插值多项式之间的联系．

只有一个节点x0时，插值多项式为y?y0．当增加一个节点x1时，由点(x0,y0)和

(x1,y1)确定的线性多项式为

p1(x)?y0?y1?y0(x?x0)?y0?c1(x?x0) (4.12)

x1?x0进一步考察三个节点x0,x1,x2上建立的二次插值多项式p2(x)．由于p2(x)与p1(x)在x0,x1处函数值分别相等，故x0,x1是方程p2(x)?p1(x)?0的根，则

p2(x)?p1(x)?c2(x?x0)(x?x1)

即

p2(x)?p1(x)?c2(x?x0)(x?x1) (4.13) 同理，当节点由k个增加到k?1个，分别由它们所确定的k?1次和k次多项式之间的关系为

pk(x)?pk?1(x)?ck(x?x0)(x?x1)?(x?xk?1) (4.14)

从上面的关系式可以看出，新增加一个节点，新的k次多项式只需要在原来k?1次多项式的基础上增加一项即可，而且增加的这一项只需要确定系数ck．

将式(4.12)、(4.13)等前面k?1个式子依次代入(4.14)就得到pk(x)的具体形式为

pk(x)?y0?c1(x?x0)???ck(x?x0)(x?x1)?(x?xk?1) (4.15)

可将式(4.15)看成是以1,x?x0,(x?x0)(x?x1),?,(x?x0)(x?x1)?(x?xk?1)为基函数的插值多项式的表达形式，这种插值方法被称为Newton插值法．

一、 差商的定义

给定k?1个节点，求出k次Newton插值多项式(4.15)的关键是求出系数c1,c2,?,ck．将

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插值条件p1(x1)?y1代入(4.12)可以求出

c1?y1?y0 (4.16)

x1?x0同理将插值条件p2(x2)?y2代入(4.13)，并结合p1(x)的表达式有

c2?

y?[y0?c1(x2?x0)]p2(x2)?p1(x2)?2(x2?x0)(x2?x1)(x2?x0)(x2?x1)y2?y1y1?y0 (4.17)

?y2?[y0?c1(x1?x0)]?c1(x2?x1)x2?x1x1?x0??(x2?x0)(x2?x1)x2?x0可见c1是在两点处函数值增量与自变量增量的商，数学上将它形象的称为差商．系数c2可以看成是差商的增量与自变量的增量的商．下面给出差商的一般定义：

已知y?f(x)在互异节点x0,x1,x2,?处的函数值分别为y0,y1,y2,?，定义 f[xi,xj]?为f(x)在节点xi,xj处的一阶差商．定义 f[xi,xjx,yj?yixj?xi (4.18)

]k?f[xj,xk]?fx[ix,xk?xij (4.19)

]为f(x)在节点xi,xj,xk处的二阶差商．更一般的，对于任意的正整数k，当定义了两个k?1阶差商f[xi,xi?1,?,xi?k?1]和f[xi?1,xi?2,?,xi?k]后就可以定义f(x)在节点xi,xi?1,?,xi?k处的k阶差商

f[xi,xi?1,?,xi?k]?f[xi?1,xi?2,?,xi?k]?f[xi,xi?1,?,xi?k?1] (4.20)

xi?k?xi另外，规定f(x)在点xi上的函数值f(xi)是f(x)在点xi处的零阶差商，记为f[xi]．在实际计算中，常常采用表4.1所示差商表计算各阶差商．

差商具有以下性质

性质1 差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n，有

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表4.1 差商表

x x0 x1 f(x) f(x0) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … f[x0,x1] f(x1) f[x0,x1,x2] x2 f(x2) f(x3) f[x1,x2] f[x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] x3 f[x0,x1,x2] … … … … … n… 1f(xi) 'i?1?n?1(xi)f[x0,x1,?,xn]??以上结论可以用数学归纳法进行证明．从性质1可知，改变节点的排列次序并不影响差商的值，由此得出差商的对称性．

性质2 差商具有对称性，即

f[x0,x1,x2,?,xn]?f[xi0,xi1,?,xin]

其中?i0,i1,?,in?是?0,1,2,?,n?的任意排列．

f(n)???性质3 设f(x)的n阶导函数存在，则有f[x0,x1,?xn]?，这里

n!??(min(x0,x1,?xn),max(x0,x1,?xn))，该性质的证明后面给出．

二、Newton插值多项式

将式(4.12)中的y0和c1写成差商的形式，得到一次的Newton插值多项式

N1(x)?f[x0]?f[x0,x1](x?x0)

从(4.17)式可知c2?f[x0,x1,x2]，将c2代入(4.13)式，得到二次的Newton插值多项式

N2(x)?f[x0]?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)

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