贵州省贵阳市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析

同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．

9．已知函数f?x??cosxsin2x，下列结论不正确的是（ ） A．y?f?x?的图像关于点

??,0?中心对称 B．y?f?x?既是奇函数，又是周期函数

?2

对称

D．y?f?x?的最大值是

C．y?f?x?的图像关于直线x?【答案】D 【解析】 【分析】

3 2通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】

解：A:f(2??x)?cos(2??x)sin2(2??x)??cosxsin2x??f(x)，正确； B:f(?x)?cos(?x)sin2(?x)??cosxsin2x??f(x)，为奇函数，周期函数，正确； C:f(??x)?cos(??x)sin2(??x)?cosxsin2x?f(x)，正确；

32D： y?2sinxcos2x?2sinx?2sin3x，令t?sinx，t??1,1则g?t??2t?2t，g??t??2?6t，t?[?1，

??1]，则?3?t?3?33?333???,时g?t??0，?1?t??或1?t?时g?t??0，即g?t?在?上???33333???3??3?,1??1,?单调递增，在?和?上单调递减； ?????3??3???3?43?3?433?y?g???g?1?0??且g?，，，故D错误． ??max??3?9239????故选：D． 【点睛】

本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．

10．下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为（ ）

A．

3 3B．

6 3C．

3 6D．

33 6【答案】C 【解析】 【分析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，A,D,F三点重合，记作D，取DC中点H，连接EG,EH,GH，

?EGH即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得

cos?EGH.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中A,D,F三点重合，记作D：

则G为BD中点，取DC中点H，连接EG,EH,GH，设正四面体的棱长均为a， 由中位线定理可得GH//BC且GH?11BC?a， 22所以?EGH即为EG与直线BC所成的角，

3 ， ?1?EG?EH?a??a??a2?2?22EG2?GH2?EH2 由余弦定理可得cos?EGH?2EG?GH321232a?a?a3444??， 6312?a?a22所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为故选：C. 【点睛】

3， 6本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

4ax211．已知函数f?x??lnx?2ax，g?x???2x，若方程f?x??g?x?恰有三个不相等的实根，则

lnxa的取值范围为（ ）

A．?0,e?

B．?0,??1? 2e??C．?e,??? 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意可将方程转化为

?1?D．?0,?

?e?lnx4axlnx?2a??2，令t?x??，x??0,1?U?1,???，进而将方程转化为xlnxx??t?x??2????t?x??2a???0，即t?x???2或t?x??2a，再利用t?x?的单调性与最值即可得到结论.

【详解】

由题意知方程f?x??g?x?在?0,1?U?1,???上恰有三个不相等的实根，

4ax2即lnx?2ax??2x，①.

lnx因为x?0，①式两边同除以x，得所以方程记t?x??lnx4ax?2a??2. xlnxlnx4ax?2a??2?0有三个不等的正实根. xlnx4alnx?2?0. ，x??0,1?U?1,???，则上述方程转化为t?x??2a?t?x?x即??t?x??2????t?x??2a???0，所以t?x???2或t?x??2a. 因为t??x??1?lnx，当x??0,1?U?1,e?时，t??x??0，所以t?x?在?0,1?，?1,e?上单调递增，且x?02x时，t?x????.

当x??e,???时，t?x??0，t?x?在?e,???上单调递减，且x???时，t?x??0.

?1，当t?x???2，有一根. e1. 所以t?x??2a恰有两个不相等的实根，所以0?a?2e所以当x?e时，t?x?取最大值故选：B. 【点睛】

本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 12．已知函数f?x??xe1?x，若对于任意的x0?(0,e]，函数g(x)?lnx?x?ax?f?x0??1在(0,e]内

2都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ） A．(1,e] 【答案】D 【解析】 【分析】

2将原题等价转化为方程lnx?x?ax?1?f?x0?在(0,e]内都有两个不同的根，先求导f'?x?，可判断

B．(e?2,e] eC．(e?22,e?] eeD．(1,e?]

2ex??0,1?时，

f??x??0，f?x?是增函数；

2当x??1,e?时，f??x??0，f?x?是减函数.因此0?f?x??1，再令F(x)?lnx?x?ax?1，求导得

2x2?ax?1，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点x1，使得F??x??0在?0,e?有F(x)??x?解，通过导数可判断当x??0,x1?时F??x??0，F?x?在?0,x1?上是增函数；当x??x1,e?时F??x??0，

F?x?在?x1,e?上是减函数；则应满足F?x?max?F?x1??1，再结合2x12?ax1?1?0，构造函数m?x??lnx?x2?1，求导即可求解；

【详解】

函数g(x)?lnx?x?ax?f?x0??1在(0,e]内都有两个不同的零点，

2等价于方程lnx?x?ax?1?f?x0?在(0,e]内都有两个不同的根.

2f?(x)?e1?x?xe1?x?(1?x)e1?x，所以当x??0,1?时，f??x??0，f?x?是增函数；

当x??1,e?时，f??x??0，f?x?是减函数.因此0?f?x??1.

12x2?ax?1设F(x)?lnx?x?ax?1，F(x)??2x?a??，

xx2?若F??x??0在?0,e?无解，则F?x?在(0,e]上是单调函数，不合题意；所以F??x??0在?0,e?有解，且易知只能有一个解.

设其解为x1，当x??0,x1?时F??x??0，F?x?在?0,x1?上是增函数； 当x??x1,e?时F??x??0，F?x?在?x1,e?上是减函数.

因为?x0?(0,e]，方程lnx?x?ax?1?f?x0?在(0,e]内有两个不同的根，

2