2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷理科 含解析 精品

故满足条件的不同五位数的个数是48． 故答案为：48．

15．函数f（x）（x∈R）满足f（1）=2且f（x）在R上的导数f'（x）满足f'（x）﹣3＞0，则不等式f（log3x）＜3log3x﹣1的解集为 （0，3） ． 【考点】导数的运算．

【分析】令g（x）=f（x）﹣3x，求出g（1）=﹣1，问题转化为g（log3x）＜g（1），根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．

【解答】解：令g（x）=f（x）﹣3x，则g′（x）=f′（x）﹣3＞0， 可得g（x）在R上递增，

由f（1）=2，得g（1）=f（1）﹣3=﹣1， f（log3x）＜3log3x﹣1， 即g（log3x）＜g（1）， 故log3x＜1，解得：0＜x＜3， 故不等式的解集是：（0，3）．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．设向量

．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若求△ABC面积的最大值．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣的单调递增区间．

（2）由已知可求sin（2A﹣

）=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用

），令2kπ﹣

≤2x﹣

≤2kπ+

，k∈Z，即可解得f（x）

，

，

，

，x∈R，记函数

余弦定理，基本不等式可求bc≤2+【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵（2x﹣

），…3分

≤2x﹣

≤2kπ+=sinxcosx+

，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

=sin2x﹣（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）cos2x=sin

∴令2kπ﹣，k∈Z，解得：kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣（2）∵∴sin（2A﹣∴A=

，

]，k∈Z…5分

）=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=，

，…7分

bc≥（2﹣

）

2=b2+c2﹣∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：bc，（当且仅当b=c时等号成立） ∴bc≤又∵sinA=sin

=2+=

， ，…10分 bc≤

（2+

）=

∴S△ABC=bcsinA=，（当且仅当b=c时等号成立）

∴△ABC面积的最大值为

…12分

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，（1）求数列{an}的通项公式；

（n∈N+）．

（2）若数列{bn}满足an?bn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：∈N+）．

【考点】数列的求和；数列递推式．

（n

【分析】（1）利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，及其等比数列的通项公式即可得出； （2）求出bn=公式即可得出．

=（4n+1）（）n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和

【解答】（1）解：由（n∈N+）．

当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3．

n=2时，2S2+3=3a2，即有2（a1+a2）+3=3a2，解得a2=9． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，

∵2Sn+3=3an（n∈N*），2Sn﹣1+3=3an﹣1， 两式相减可得2an=3an﹣3an﹣1， ∴an=3an﹣1，

∴数列{an}是以9为首项，3为公比的等比数列． ∴an=3n．对n=1也成立． 故数列{an}的通项公式为an=3n．

（2）证明：由an?bn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1， 得bn=

=（4n+1）（）n，

∴Tn=Tn=b1+b2+b3+…+bn=5?+9?（）2+…+（4n+1）?（）n， Tn=5?（）2+9?（）3+…+（4n+1）?（）n+1，

两式相减得， Tn=+4×[（）2+（）3+…+（）n]﹣（4n+1）?（）n+1

=+4×

﹣（4n+1）?（）n+1，

化简可得Tn=﹣（4n+7）?（）n＜．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上． （1）求证：AD⊥BF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若

，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

【分析】（1）推导出AF⊥AD，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明AD⊥BF．

（2）以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AP﹣C的余弦值． 【解答】证明：（1）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD， 又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF， 又BF?平面ABEF，∴AD⊥BF．

解：（2）∵直线AF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AF⊥AB， 由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，

∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）， ∴

=（﹣

），

=（﹣1，﹣1，），

设异面直线BE与CP所成角为θ， 则cosθ=

=

，

．

．

．

．

．…

∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为

（3）∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量由

知P为FD的三等分点，且此时

，

在平面APC中，∴平面APC的一个法向量