数学分析习题课1.1

第一章 实数集与函数 习题课 实数集、确界原理与函数

一、基本要求：

1、掌握有关实数的性质与运算。

2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。 3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。

4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。

5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。 二、内容复习：

1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。有理数可用分数形式

pq（p,q为整数，q?0）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。

2、实数的性质：

(1) 封闭性：实数集R对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.

(2) 有序性：任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：a?b，a?b，a?b. (3) 传递性：若a?b，b?c，则a?c.

(4) 阿基米德性：对任何a,b?R，若b?a?0，则存在正整数n，使得na?b. (5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.

(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系. 3、绝对值的定义：

?a,a?0, |a|????a,a?0.从数轴上看，数a的绝对值|a|就是a到原点的绝对值.

4、绝对值的性质：

(1) |a|?|?a|?0;当且仅当时a?0有|a|?0.

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第一章 实数集与函数

(2) ?|a|?a?|a|.

(3) |a|?h??h?a?h;|a|?h??h?a?h(h?0). (4)对任何a,b?R有如下的三角不等式：

|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.

(5) |ab|?|a||b|. (6)

a|a|?(b?0). b|b|5、区间与邻域的概念：

有限区间：设a、b?R，且a?b 开区间：(a,b)?{x|a?x?b}. 闭区间：[a,b]?{x|a?x?b}.

半开半闭区间：[a,b)?{x|a?x?b}或(a,b]?{x|a?x?b}. 无限区间：(??,a]?{x|x?a}，(??,a)?{x|x?a} (a,??]?{x|x?a}，(a,??)?{x|x?a} (??,??)?R 邻域：设a?R,??0

点a的?邻域：U(a;?)?{x||x?a|??}?(a??,a??). 点a的空心?邻域：U?(a;?)?{x|0?|x?a|??}. 点a的左?邻域：U?(a;?)?(a??,a]. 点a的右?邻域：U?(a;?)?[a,a??).

?邻域：U(?)?{x||x|?M}，其中为充分大的正数（下同）. ??邻域：U(??)?{x|x?M}；??邻域：U(??)?{x|x??M}.

6、确界的定义：

确界是上确界与下确界的统称。

上确界的定义：设S是R中的一个数集。若?满足：

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第一次习题课 实数集、确界原理与函数

(i)对一切x?s，有x??，即?是S的上界；

(ii)对任何???，存在x0?S，使得x0??，即?又是S的最小上界， 则称数?为数集S的上确界，记作 ??supS. 下确界的定义：设S是R中的一个数集。若?满足： (i)对一切x?s，有x??，即?是S的下界；

(ii)对任何???，存在x0?S，使得x0??，即?又是S的最大下界， 则称数?为数集S的下确界，记作 ??infS.

7、确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确解；若S有下界，则S必有下确界。

8、函数的定义：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y?M与它对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作

f:D?M,

x?y.数集D称为f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记作f(x)，全体函数值的集合

f(D)?{y|y?f(x),x?D}(?M)

称为函数的值域。

9、函数的表示方法：解析法（或公式法）、列表法和图像法。 10、复合函数 设有两个函数

y?f(u),u?D,u?g(x),x?E.

记E*?{x|g(x)?D}?E.若E*??，则对每一个，x?E*，可通过函数g对应D内唯一的一个值u。而u又通过函数f对应唯一的一个值y。这就确定了一个定义在E*上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作

y?f(g(x)),x?E*或y?(f?g)(x),x?E*，

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第一章 实数集与函数

称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量。函数f和g的复合运算也可简单的写作f?g。

11、反函数

设函数 y?f(x),x?D，满足：对于值域f(D)中的每一个值y，D中有且只有一个值x使得 f(x)?y.则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作

f?1:f(D)?Dy?x 或 x?f?1(y),y?f(D).

12、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。

13、有界函数

设f为定义在D上的函数。若存在正数M，使得对每一个x?D有

|f(x)|?M，

则称f为D上的有界函数。

14、单调函数

设f为定义在D上的函数。若对任何x1,x2?D，当x1?x2时，总有 (i) f(x1)?f(x2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式

f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；

(ii) f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式

f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。

15、奇函数和偶函数

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数。若对每一个x?D有

f(?x)??f(x) (f(?x)?f(x))，

则称f为D上的奇（偶）函数。

16、周期函数

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