数学培优之圆（九年级）-第4讲 - 从三角形的内切圆谈起

第4讲 从三角形的内切圆谈起

知识点归纳

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；

2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：

例题精讲

【例1】如图，⊙O是Rt?ABC内切圆，切点为D、E、F，

2若AF、BE的长度是方程x?13x?30?0的两个根，则

?ABC的面积是 （第18届江苏省竞赛题）

思路点拨 连OE、OF，易证四边形OECF为正方形，解题的关键是求出CE、CF的长.

【例2】如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则?DAE与直角梯形EBCD的周长的比值为（ ） A.34 B.45 C.56 D.67 （杭州市中考题） 思路点拨 本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为了求出周长，需引入字母或赋值。

【例3】如图，已知过原点O和M(2,2)的动圆⊙O1交坐标轴于A、B两点，设?BOA的内切圆⊙I的直径为d，求d?AB的值.

思路点拨 d?AB?2?OA?OB?AB?AB?OA?OB，只需求出OA?OB的值，注意

2点M的坐标特点。

【例4】如图，在Rt?ABC中，其中?C?90?,AC?4,BC?3，其中⊙O1、⊙O2，...、⊙On为n个相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，……，⊙On?1与⊙On相外切，⊙O1、⊙O2，...、⊙On都与AB相切，且⊙On与BC相切，⊙O1与AC相切，求这些等圆的半径r（用n表示）.

（河北省竞赛题）

思路点拨 O1、O2、...、On在同一直线上，连接O1F、OnG、AO1、BOn，把AF、BG分别用r的代数式表示，建立r的方程。

圆与梯形的珠联璧合

【例5】如图，的直径AB?8cm，AM和BN是它的两条切线，DE切?o于E，交AM于

D，BN于C，设AD?x，BC?y，求y与x的函数关系式．

对于例5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论： （1）CD?AD?BC；

（2）以AB为直径的圆与CD相切； （3）以CD为直径的圆与AB相切； （4）AD?BC为一定值。

例5图

【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求?DEF的度数．

（浙江省竞赛题）

分析 若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本题的关键。

例6图

基础练习

1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，⊙O为内切圆，E为切点．若OA?8cm，

OD?6cm，求OE的长为 。 （天津市中考题）

第1题

第2题

第3题

2.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y?k经过正方形AOBC对角线x的交点，半径为(4?22)的圆内切于△ABC，则k的值 。

（芜湖市中考题）

3.如图，在Rt?ABC中，AB?3，BC?4，圆心O在AC上，⊙O与BC相切于点D，求⊙O的半径为 。

（乌鲁木齐市中考题）

4.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB?16，CD?10，则四边形的周长为 。

（杭州市中考题）

第4题 第5题 第6题

5.已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A，B），过点P作半圆O的切线分别交过A，B两点的切线于D，C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON?NP；③DP?PC为定值；④PA为?NPD的平分线．其中一定成立的是（ ）