2020高考数学题型整理分类《(3)三角恒等变换与解三角形》解析版(含历年真题)

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则cos∠CDB＝ 答案：

15 2

10 4

cos∠ABC＋110

＝. 24

14．在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________，AC＝________.

ADABAB

解析：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝×sin

ADsin∠ABCsin∠ADB12

∠ABC＝×sin 45°＝，

510

所以sin∠ADC＝sin(180°－∠ADB)＝sin∠ADB＝由余弦定理，

得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD， 所以52＝12＋BD2－2BDcos45°，得BD＝42， 因为AD为△ABC的边BC上的中线， 所以BC＝2BD＝82.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋(82)2－2×1×82×cos 45°＝113，所以AC＝113.

答案：

2

10

113

2. 10

π

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b＝6，△ABC

43＋3

的面积为，则c＝________，B＝________.

2

1123＋3

解析：由S△ABC＝bcsin A＝×6×c×＝，得c＝1＋3.在△ABC中，由余

2222弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋(4＋23)－26×(3＋1)×

2

＝4，则a＝2.由正弦定2

ab3π理＝，可得sin B＝，因为b

答案：1＋3

π

3

1

16．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝________.

2

112

解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝2，所以sin B＝，所以B＝

22245°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1，此时

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AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝5.

答案：5

17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为22，高线长为3，且btan A＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．

tan A2ctan A2c

解析：因为btan A＝(2c－b)tan B，所以＝b－1，所以1＋＝，根据正弦

tan Btan Bbsin?A＋B?2sin Csin Acos B2sin C

定理，得1＋＝，即＝.因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，

sin Bcos Asin Bsin Bcos Asin B1π

所以cos A＝，所以A＝.设BC边上的中线为AM，则AM＝22，因为M是BC的中点，

23―→1―→―→―→1―→―→―→―→

所以AM＝(AB＋AC)，即AM2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)，所以c2＋b2＋bc＝32 ①.

243a113

设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得bc＝，即bc＝2a ②，

2242bc?2

根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc ③，联立①②③得??2?＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．

答案：8

B组——能力小题保分练

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝( )

3

A．

44C．－ 3

4B．

3

3

D．－

4

解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，即sin2C－4sin Ccos C＋4cos2Ctan2C－4tan C＋44

＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍

3sin2C＋cos2Ctan2C＋1去)，故选C.

2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是( )

A．(5,6] C．(3,6]

B．(3,5) D．[5,6]

解析：选A 由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A

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b2＋c2－a21bcaπ＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2

2bc23sin Bsin Cπ

sin3

?1－cos 2B1－cos[2?A＋B?]???＋＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4?22?＝3sin 2B

ππππ

2B－?＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈?，?，则2B－∈－cos 2B＋4＝2sin?6???62?6

?π，5π?，所以sin?2B－π?∈?1，1?，所以b2＋c2的取值范围是(5,6]，故选A.

6??2??66??

π1

3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________.

43解析：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知11π12

AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.

33433

在Rt△ABD中，AB＝ 在Rt△ACD中，AC＝

?1a?2＋?1a?2＝2a.

?3??3?3?1a?2＋?2a?2＝5a. ?3??3?3

11

∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，

2212511

即×a×a·sin∠BAC＝a·a， 23323∴sin∠BAC＝答案：

310

10

310

. 10

4.如图，在△ABC中，AB＝2，点D在边BC上，BD＝2DC， cos∠DAC＝

31025

，cos∠C＝，则AC＝________. 105

310

解析：因为BD＝2DC，设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，因为cos∠DAC＝，

10AD25105

cos∠C＝，所以sin∠DAC＝，sin∠C＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝

5105sin∠CCDyx3102510，即＝，即y＝2x.又cos∠ADB＝cos(∠DAC＋∠C)＝×－

10510sin∠DAC510

510×

52ππ

＝，则∠ADB＝.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos，即2＝4x2＋2x25244

2

，即x2＝1，所以x＝1，即BD＝2，DC＝1，AD＝2，在△ACD中，2

－2×2x×2x×

3π

AC2＝CD2＋AD2－2CD×ADcos＝5，得AC＝5.

4

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答案：5

5．已知△ABC中，AC＝2，BC＝6，△ABC的面积为π

在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.

4

131

解析：因为S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA，即＝×2×6×sin

2221π3π

∠BCA，所以sin∠BCA＝.因为∠BAC>∠BDC＝，所以∠DAC<，

2443ππ

又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，则∠BCA＝，所以cos

46∠BCA＝

33

.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×2×6×＝22

3

.若线段BA的延长线上存2

BCCDπ

2，所以AB＝2＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，

6sin∠BDCsin∠DBC即

6CD

＝，解得CD＝3. 21

22

答案：3

6．(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2

＝c2，则

tan C

＝________；tan B的最大值为________． tan A

tan Csin Ccos Accos Atan C

＝·＝·，再结合余弦定理可得＝tan Asin Acos Cacos Ctan A

解析：由正弦定理可得

b2＋c2－a2ccos Acb2＋c2－a22abtan Cb2＋a2＋2b2－a2

222

＝··2＝.由a＋2b＝c，得＝＝a·cos Ca2bctan Aa2＋b2－a2－2b2a＋b2－c2a2＋b2－c2π

－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－

2

tan A＋tan C2π

＝－＝，因为＜C＜π，所以

1321－tan Atan C

－tan C＋?－tan C?tan A－tan C

1＋tan C

tan A

tan(A＋C)＝－

3

＋

－tan C(－tan C)≥2

3

×?－tan C?＝23(当且仅当tan C＝－3时取等号)，从而tan

－tan C

233B≤＝，即tan B的最大值为.

3233

答案：－3

3

3