2020高考数学题型整理分类《(3)三角恒等变换与解三角形》解析版（含历年真题）

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（三）小题考法——三角恒等变换与解三角形

A组——10＋7提速练

一、选择题

ππ1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝( )

64A．2 C．3

解析：选D 由正弦定理

B．1 D．2

ab1b1b

＝，得＝，即＝，所以b＝2，故选D. sin Asin Bππ12sinsin

6422

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝ 1

asin C，则sin B＝( ) 2

A.C.7 47 3

3B． 41D．

3

11

解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝2a，∴b＝2a，

22a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23

∴cos B＝＝＝，则sin B＝

2ac4a24

3?27

1－?＝?4?4.

3．(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．无法确定

解析：选A 因为A和B都为三角形中的内角， 由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0， 且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角， 所以tan(A＋B)＝

tan A＋tan B

<0，

1－tan Atan B

π

，π?，即C为锐角， 则A＋B∈?2??所以△ABC是锐角三角形．

3π

<β<π?，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) 4．已知sin β＝??5?2A．－2 1

C．－

2

B．2

1D．

2

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3π解析：选A ∵sin β＝，且<β<π，

5243

∴cos β＝－，tan β＝－.

54

∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， 1

∴tan α＝－，

2∴tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

＝－2.

1－tan α·tan β

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，则A＝( )

A．60° C．30°

B．120° D．150°

解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由1

余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.

2

π

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝，

4则△ABC的面积为( )

A．2＋1 C．2

解析：选B 由正弦定理

B．3＋1 D．5

bcbsin C1＝，得sin B＝c＝，又c>b，且B∈(0，π)，sin Bsin C2

π7π117π1

所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×22sin＝×2×22

61222122×

6＋2

＝3＋1. 4

7．(2018·衢州期中)在△ABC中，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( ) A．23 C.2

B．2 D．1

解析：选B 在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝3， ab∴由正弦定理＝，

sin Asin B可得

133＝＝， sin Asin B2sin Acos A

3πππ，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝， 2632

∴cos A＝

∴c＝a2＋b2＝2.

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8．在△ABC中，A＝60°，BC＝10，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝2，△BCD的面积为1，则AC的长为( )

A．23 C．

3

3

B．3 D．

23

3

15

解析：选D 由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以

25cos∠DCB＝

2525

或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，55

CD2＋BC2－BD2125

所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝

252CD·BCBD2＋BC2－CD23102510

，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝. 52BD·BC1010在△ABC中，由正弦定理可得AC＝

BCsin B23＝，故选D. sin A3

9．(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )

π

0，? A.??6?ππ?C.??6，2?

π

0，? B.??2?ππ?D.??6，2?

解析：选A 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1

1211

(a＋b2－c2)＝(4＋b2－1)＝(3＋b2)＝2ab4b4b

3b1?333π?

＋＝?－b?2＋≥.所以0

10．(2018·济南外国语学校月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin(Bπ＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，且c＝6，C＝，则△ABC的面积是( )

3

A．3 C．3或1

B．33 D．3或33

π2π2π

解析：选A ∵在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B

3332π31

－2A?＝2sin 2A，即sin C＋cos 2A＋sin 2A＝2sin 2A，－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin??3?22ππ12π3ππ5π

2A－?＝sin C＝，∴sin?2A－?＝.又A∈?0，?，∴2A－＝或，解整理得3sin?6?6?23????2666cππππ61

得A＝或.当A＝时，B＝，tan C＝a＝a＝3，解得a＝2，∴S△ABC＝acsin B＝3；

62622

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cππ61

当A＝时，B＝，tan C＝＝＝3，解得b＝2，∴S△ABC＝bc＝3.综上，△ABC的

bb262面积是3.

二、填空题

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面3

积为，且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为________．

2

13

解析：由已知可得acsin 30°＝，解得ac＝6.因为sin A＋sin C＝2sin B，所以由正弦定

22理可得a＋c＝2b.由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－3ac＝4b2－12－63，解得b2＝4＋23，∴b＝1＋3或b＝－1－3(舍去)．

答案：1＋3

12．(2018·温州期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b1

＝2，cos B＝，则c＝________；△ABC的面积S＝________.

4

1

解析：∵a＝1，b＝2，cos B＝，

4

1

∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得22＝12＋c2－2×1×c×，整理得2c2－c－6

4＝0，

解得c＝2(负值舍去)， 又∵sin B＝1－cos2B＝

15， 4

111515

∴S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.

2244答案：2

15

4

13．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.

AB2＋BC2－AC2解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝

2AB·BC42＋22－421

＝＝， 2×4×24

则sin∠ABC＝sin∠CBD＝15， 4

111515

所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.

22421

因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，

2