微分中值定理与导数的应用

微分值定理与导数(偏导数)的应用

导数的几何应用:切线斜率 偏导数的几何应用

i. 若空间曲线Г的参数方程为x??(t),y??(t),z??(t), 且?'(t0),?'(t0),?'(t0)不能都

??为零.则切向量（切线的方向向量）T???'(t0),?'(t0),?'(t0)?

曲线在点M处的切线方程为

x?x0y?y0z?z0?=

??(t0)??(t0)??(t0)法平面（过切点与切线垂直的平面）的方程为：

?'( t0)(x?x0)??'(t0)(y?y0)??'(t0)(z?z0)?0

ii. 若空间曲线Г的方程为??y??(x)，Г的参数方程可看成x?x,y??(x),z??(x)，

z??(x)???所以T??1,?'(x0),?'(x0)?

曲线在点M处的切线方程为

x?x0y?y0z?z0??, 1??(x0)??(x0)法平面方程为(x?x0)??'(x)(y?y0)??'(x)(z?z0)?0 iii. 若空间曲线Г的方程为??F(x,y,z)?0 ，利用隐函数求导法则，

?G(x,y,z)?0,FzGz,Gx0Gxx?x0FyFzGyGz0???Fy切向量可取为T???Gy?FzGz0FxFxFy?? Gy?0??y?y0FzFxGzGx0 曲线在点M处的切线方程为 ?z?z0FxFyGxGyFyGy0,

0 法平面方程为

FyGyFz(x?x0)?GzGz0FzFxFx(y?y0)?GxGx0(z?z0)?0.

曲面的切平面与法线：设M(x0,y0,z0)是曲面?：F(x,y,z)?0上的一点，则∑

?在点M的切平面的法向量为n??Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)?，切平面方程

1

为：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0 法线方程

x?x0y?y0z?z0??.

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)特别地，曲面z?f(x,y)在点M(x0,y0,z0)处的法向量为：

?n??fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1?（向下的法线方向）

或 n??fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1（向上的法线方向）

??????注意: 求曲线切线的关键在于找到切向量T；求曲面切平面的关键在于找到法向量n.

方向导数与梯度：

（1）如果函数f(x,y)(或f(x,y,z))在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向l的

方向导数为

?f?f?f?f?f?f?f?cos??cos?（或?cos??cos??cos?）. ?l?x?y?l?x?y?z注意: 可微是方向导数存在的充分条件，el?（cos?,cos?)（或el?（cos?,cos?,cos?)）为给定向量的单位向量.

???f??f?i?j (2)函数f(x,y)(或f(x,y,z))的梯度为gradf(x,y)??x?y?f??f??f?i?j?k）. （或gradf(x,y,z)??x?y?z 若f(x,y)(或f(x,y,z))为可微函数，则方向导数与梯度关系为

???f?gradf?el?|gradf|cos(gradf,el). ?l?f当方向l与梯度的方向一致时，取最大值.即梯度的方向是函数在该点增长最快的方向;

?l?f方向l与梯度的方向相反时，取最小值，故梯度反方向是函数在该点减少长最快的方向.

?l注意: （1）梯度是一个向量，方向导数是数.

??gradf在任意给定方向l上的投影就是该方向的方向导数， （2）因此，当gradf?l

时，

?f?0. ?l例题

2

9?222x?y?z???1?4例1求?在?1,,1?处的切线与法平面方程.

17?2??3x2?(y?1)2?z2?4?dydz?2x?2y?2z?0??dxdx解：方程组两边对x求导，得:?

dydz?6x?2(y?1)?2z?0?dxdx?dz?dy2??2?0?dydz?dx?1?dx?2,??2. 将?1,,1?代入上式,得:?，解之得：

dydzdxdx2???6??2?0?dx?dx故切向量为?1,x?1?dydz?,???1,2,?2?，切线方程为?dxdx1????y?12?z?1 2?2法平面方程为x?1?2?y?1???2(z?1)?0,即x?2y?2z?0. 2?例2 求曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程.

分析：先求曲面切平面的法向量. 由于已知曲面的切平面与所给平面平行，因此切平面的法向量与所给平面的法向量对应成比例.

22（2x,2y,?1)，2x?4y?z?0的法向量为解：z?x?y的切平面的法向量为

(2,4,?1)，故只需

2x2y?1?? 即x?1,y?2, 此时z?12?22?5. 24?1所以，所求切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即2x?4y?z?5?0.

?x2?y2?z2?4m2例3求曲线?2在点m,m,2m处的切线及法平面方程，其中m?0例22x?y?z?0???22例4. 求二元函数f?x?xy?y在点(?1,1)沿方向el??1（2,1)的方向导数及梯度，并5指出f在该点沿哪个方向减少得最快？ 解：gradf(?1,1)?(?f?f,)|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3) ?x?y3

??f213 |(?1,1)?gradf?el??3??3????l555因此，方向导数取最大值方向即为梯度方向：

12(?1,1)，方向导数最大值为32，而沿梯

度的负方向，即

12(1,-1)的方向减小得最快.

例5 .设函数f(x,y)在?0,0?点附近有定义，且fx(0,0)?3,fy(0,0)?1，则 A．dz?0,0??3dx?dy；

B．曲面z?f(x,y)在0,0,f?0,0?的法向量为?3,1,1? C．曲线????z?f(x,y)在?0,0,f?0,0??的切向量为?1,0,3?

?y?0?z?f(x,y)D．曲线?在?0,0,f?0,0??的切向量为?3,0,1?

y?0??222例6 .设n是曲面2x?3y?z?6在点P?1,1,处指向外侧的法向量，求?1?6x2?8y2在P点处沿方向n的方向导数. u?z微分中值定理

1.费马引理 设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x?U(x0)，有f(x)?f(x0) （或f(x)?f(x0)），那么f?(x0)?0． 注 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）．

2.罗尔定理 如果函数f(x)满足（１）在闭区间?a,b?上连续；（２）在开区间?a,b?内可导；（３）f(a)?f(b)，那么在?a,b?内至少有一点??a???b?，使得

f?(?)?0．

3.拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足（１）在闭区间?a,b?上连续；（２）在开区间?a,b?内可导，那么在?a,b?内至少有一点??a???b?，使等式

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