（整理）正项级数收敛性

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我们需要什么样的一个函数?(x,n)，使得lim?(lnn??an,n)?l，而根据l的范围，便可给an?1出

?an的收敛性判定？还是从lim?(lnn?1n???an,n)?l本身寻找答案，其极限定义为 an?1an,n)?l|?? an?1an,n)?l?? an?1 ???0,?N,?n?N:|?(ln即 ???0,?N,?n?N:l????(ln求解?(x,n)的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 ?(l??,n)?lnan??(l??,n) an?1即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和：

n?N?1m?m?(l??,n)?n?N?1m?m(lnan?lnan?1)?n?N?1?m?(l??,n)

即

n?N?1m??(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?n?N?1m??(l??,n)

lnaN?1?mn?N?1m??(l??,n)?lnam?1?lnaN?1???(l??,n)n?N?1??(l??,n)

e?lnaN?1?n?N?1?m?(l??,n)?am?1?emlnaN?1?n?N?1

显然，

?an?1n的收敛性由elnaN?1?n?N?1??(l??,n),elnaN?1?n?N?1??(l??,n)的级数收敛性确定。讨论收敛性，

m?常数lnaN?1可以不作考虑，于是，只要讨论en?N?1?m?(l??,n)?,en?N?1??(l??,n)的级数收敛性即可。

这两个级数只是l??,l??，我们暂时抹掉这种差异，用l代替这两者，于是，我们关注

?e

n?N?1??(l,n)m究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准？

?目前我们只能用等比级数作标准，能用p-级数精品文档

1吗？也就是 ?pn?1n精品文档

m? en?N?1??(l,n)m?1 （为了左右一致，将p换成l，n换成m） ml1?llnm ?elm?即 en?N?1??(l,n)?于是

n?N?1??(l,n)?llnm

m考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

?mN?1?(l,n)dn?llnm

l m对m求导，得到 ?(l,m)?于是

al??l???lnn? nan?1nan?l?? an?1即 ???nln |nlnan?l|?? an?1?anan1,n)?l可选为limnln?l，l为p-级数?p的p值，l?1，l??都故lim?(lnn??n??an?1an?1n?1n?可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

?an?1n的收敛性

和p-级数

1的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。故 ?pnn?1???anlimnln?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n?1在limlnn??ana?0的情况下，lnnan?1an?1ana?1，故limnlnn?l可换成

n??an?1an?1an?1)?l an?1 limn(n??除了用p-级数精品文档

1作标准，还可以用别的吗？ ?pn?1n?精品文档

?可以，柯西选择了级数

?nlnn?11lnm

?即 en?N?1??(l,n)?1?llnlnm?lnm ?elmlnm于是

n?N?1??(l,n)?llnlnm?lnm

m考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

?mN?1?(l,n)dn?llnlnm?lnm

l1?

mlnmm对m求导，得到 ?(l,m)?于是

(al??1l??1?)?lnn?(?) nlnnnan?1nlnnnan)lnn?l?? an?1即 ???(nln |(nlnan)lnn?l|?? an?1?anan1,n)?l可选为lim(nln?1)lnn?l，故lim?(ln其中l为?的参数，l?1，ln??n??an?1an?1nlnnn?1?l??都可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，?an的

n?1收敛性和级数

1的收敛性判定完全吻合，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。 ?lnlnnn?1???anlim(nln?1)lnn?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散。 n??an?1n?1n?1在limlnn??ana?0的情况下，lnnan?1an?1ana?1，故lim(nlnn?1)lnn?l可换成

n??an?1an?1an?1)?1)lnn?l an?1 lim(n(n??这是因为 lim(nlnn??an?1)lnn?l等价于 an?1精品文档

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a(nlnn?1)nln?l?oan?1ln(1)

anl11???o()an?1nlnnnnlnn

lnanan?1an?1an?1anl11?1???o() an?1nlnnnnlnn(n(an?1)?1)lnn?l?o(1)an?1an?1)?1)lnn?l an?1lim(n(n??

对于最初知道的比值判敛法，其实也可以按照上面的方式寻找到，即用等比级数准。

??ln?1?n作标

e于是

n?N?1??(l,n)mm?lm?emlnl

n?N?1??(l,n)??mlnl

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

?mN?1?(l,n)dn??mlnl

对m求导，得到 ?(l,m)??lnl 于是

?ln(l??)?lnan??ln(l??) an?1精品文档

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即 ???an?1?l?? an |

an?l|?? an?1?anan,n)?l可选为lim?l，其中l为?ln的公比，0?l?1，l??都可保故lim?(lnn??n??aan?1n?1n?1?持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

?an?1n的收敛性和级

数

?ln?1?n的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。

??an?1lim?l，当0?l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n

根值判敛法虽然也是以等比级数作标准，但似乎不能按上述模式推导出来。

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