[泄露天机]2018届全国统一招生高考押题卷理科数学（一）试卷（含答案）

∴cosC?a2?b2?c22ab??12，······4分 又0?C??，∴C?2?3，······5分 sinA?sinB?3sinC?3sin2?3?32．······6分 （2）当c?2时，a?b?3c?23，······7分

∴cosC?a2?b2?c2?a?b?2?22ab?2ab?c42ab?ab?1，······8分

22∴sinC?1?cos2C?1???4?ab?1???????4??ab???8ab，······9分 2∴S?11?4?2absinC?2ab???ab???8ab?12?16?8ab，······10分 ∵a?b?23，

∴a?b?23≥2ab，即ab≤3，当且仅当a?b?3时等号成立，······11分

∴S?12?16?8ab≤12?16?8?3?2， ∴△ABC面积的最大值为2．······12分

18．（12分）据悉，2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元，中国占据全球市场份额10.8%．通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业，下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图． （1）求m的值；

（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？ （3）在上述抽取的40个企业中任取2个，设Y为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值，求Y的分布列及期望．

【答案】（1）0.04；（2）

1419；（3）见解析． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，

m?1?5?0.03?0.07?0.05?0.01?5?0.04．·······2分

（2）产值小于500万元的企业个数为：

?0．03?0．04??5?40?14，·······3分 万元的企业不超过两个的概率为C3所以抽到产值小于500P?1?26C3?14．·······6分

4019（3）Y的所有可能取值为?2，0，2．·······7分

P?Y??2??C2265C2?，·······8分 4012P?Y?0??C1126C147C2?，·······9分 4015P?Y?2??C2147C2?．·······10分

4060∴Y的分布列为：

Y ?2 0 2 P 5712 715 60 期望为：E?Y???2?5712?0?15?2?760??35．·······12分

19．（12分）在三棱锥A?BCD中，AB?AD?BD?2，BC?DC?2，AC?2．

（1）求证：BD?AC；

（2）点P为AC上一动点，设?为直线BP与平面ACD所形成的角，求sin?的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）最大值为

437． 【解析】（1）取BD中点E，连接AE，CE，

∵AB?AD?BD?2，又E为BD中点，

∴AE?BD，·······1分 同理可得：CE?BD，·······2分

又AEICE?E，∴BD?平面ACE，·······3分 又AC?平面ACE，∴BD?AC．·······4分 （2）∵AB?AD?BD?2，BC?DC?2，

∴△BCD为直角三角形，且AE?3，CE?1，

∴AE2?EC2?AC2，?AEC??2，即AE?EC， 又AE?BD，所以AE?平面BCD，·······5分 ∴以E为坐标原点，EC为x轴，ED为

y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．

∴B?0,?10,?，D?010,,?，C?10,,0?，A?0,0,3?， uuuruuur设P?xuuur0,y0,z0?，AP??AC?0≤?≤1?，AC??1，0，?3?，uAPuur??x0,y0,z0?3?， ∴?x0,y0,z0?3????1，0，?3????，0，?3??， ?x0???x0?∴???y??0?0，即?y0?0，∴P??,0,3?3??，·······6分 ?z?3??0?3??z0?3?3?uBPuur=??,,13?3??，·····7分

uuuurDAuur??0，?1，3?，DC??1,?10,?， 设n??x1,y1,z1?是平面ACD的法向量，

?∴??n?uDAuur?uuur?0?????y1?3z1?03?，令x?n?DC?0?x1?1，得y1?1，z1?， 1?y1?03∴n???3??11,,3??，·······9分 ??uuur∴sin??cos?n,uBPuur??n?BP2n?uBPuur?7?6??2?1?3???1?27?2?2?3??2，···10

3分

由0≤?≤1，可知78≤2?2?3??2≤2，

∴217≤sin?≤437，∴sin?的最大值为437．·······12分 20．（12分）已知椭圆C:x2y2a2?b2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，

有PF11?PF2?4，椭圆的离心率为e?2； （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知N?4,0?，过点N作直线l与椭圆交于A,B不同两点，线段AB的中垂线为l?，线段AB的中点为Q点，记l?与y轴的交点为M，求MQ的取值范围．

【答案】（1）x2y24?3?1；（2）?0,5?． 【解析】（1）因为PF1?PF2?4，所以2a?4，所以a?2，·····1分 因为e?12，所以c?1，·······2分 所以b2?a2?c2?4?1?3，·······3分

所以椭圆C的标准方程为x2y24?3?1．·······4分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设l：y?k?x?4?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，Q?x0,y0?，

?y?k?x?4联立直线与椭圆???x2y2，消去y得?4k2?3?x2?32k2x?64k2?12?0，

??4?3?1x32k2x64k2?121?2?4k2?3，x1x2?4k2?3，·······5分 又????32k2?2?4?4k2?3??64k2?12??0，解得：?112?k?2，·····6分

x2x1?x216k12k0?2?4k2?3，y0?k?x0?4???4k2?3，

所以Q??16k212k?k2?3,?4k2?3?，·······7分

?4?

所以l?：y?y112k1?16k2?0??k?x?x0?，即y?4k2?3??k??x?4k2?3?，

?化简得：y??1kx?4k4k2?3，·······8分 令x?0，得m?4k4k2?3，即M???0,4k?4k2?3??，·······9分 ?16k2?2?16k?2k4?k2MQ??2?4k2?3?????4k2?3???16??，·······10分 4k2?3?2令t?4k2?3，则t??3,4?，

?2?t?3???t?3所以MQ?16?t22?4?4t2?16??2t?3??1?21?t2?16????3????t???2?t?1?， ??所以MQ??0,5?．·······12分 21．（12分）已知函数f?x?=alnx?ex；

（1）讨论f?x?的极值点的个数；

（2）若a??*，且f?x??0恒成立，求a??*的最大值． 参考数据：

x 1.6 1.7 1.8 ex 4.953 5.474 6.050 lnx 0.470 0.531 0.588

【答案】（1）见解析；（2）10．

）根据题意可得，f??x?=ax?ex?a?xex【解析】（1x?x?0?，·······1分

当a≤0时，f??x??0，函数y?f?x?是减函数，无极值点；·······2分

当a?0时，令f?x??0，得a?xex?0，即xex?a， 又y?xex在?0,???上是增函数，且当x???时，xex???，

所以xex?a在?0,???上存在一解，不妨设为x0，

所以函数y?f?x?在?0,x0?上是单调递增的，在?x0,???上是单调递减的．

所以函数y?f?x?有一个极大值点，无极小值点； 总之：当a≤0时，无极值点；

当a?0时，函数y?f?x?有一个极大值点，无极小值点．·······5分 （2）因为a??*?0，由（1）知f?x?有极大值f?x0?，且xx0满足x0e0?a①，

可知：f?x?max?f?x0??alnx0?ex0，

要使f?x??0恒成立，即f?x0??alnxx0?e0?0②，·······6分

由①可得ex0?aax，代入②得alnx0??0，即a??lnx1?0???0， 0x0?x0?因为a??*?0，所以lnx10?x?0，·······7分 0因为ln1.7?11.7?0，ln1.8?11.8?0，且y?lnx10?x在?0,???是增函数，

0设m为y?lnx10?x的零点，则m??1.7,1.8?， 0可知0?x0?m，·······8分 由②可得alnxx0?e0，

当0?x0≤1时，alnx0≤0，不等式显然恒成立；·······9分

?xxex0当100，a?lnx，

01令g?x??exex??lnx??x??lnx，x??1,m?，g??x???ln2x?0， 所以g?x?在?1,m?上是减函数，且

e1.8ln1.8?10.29，e1.7ln1.7?10.31， 所以10.29?g?m??10.31，·······11分

所以a≤g?m?，又a??*，所以a的最大值为10．·······12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】

?x?2cos?22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），以坐标原

y?sin??因为

x?1?2x?1x?1?1111?2??1??2??3，·······8分 xxxx点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：?cos???sin??1?0． （1）将曲线C的参数方程与直线l的极坐标方程化为普通方程； （2）P是曲线C上一动点，求P到直线l的距离的最大值．

1??1??当且仅当?1???2???0时取等号，

x??x??因为

x?1?2x?1?a?1?a?1，所以a?1?a?1?3，

【答案】（1）x24?y2?1，x?y?1?0；（2）10?22．

2【解析】（1）将曲线C的参数方程??x?2cos?（x?y?sin??为参数）化为普通方程为4?y2?1，·······3

分

直线l的极坐标方程为：?cos???sin??1?0，化为普通方程为x?y?1?0．······5分 （2）设P到直线l的距离为d，

d?2cos??sin??1?12≤52?10?22，·······7分 ∴P到直线l的距离的最大值为10?22．·······10分 【选修4-5：不等式选讲】

23．（10分）设f?x??x?1?2x?1， （1）求不等式f?x??x?2的解集；

（2）若不等式满足f?x??x?a?1?a?1?对任意实数x?0恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）R；（2）?????,?3?2??U??3??2,????．

【解析】（1）根据题意可得，

当x??1时，?x?1?2x?1?x?2，解得?2?2，所以x??1；·······1分

当?1?x?12时，x?1?2x?1?x?2，解得x?1，所以?1?x?12；·····2分 当x?12时，x?1?2x?1?x?2，解得x?0，所以x＞12；·····3分

综上，不等式f?x??x?2的解集为R．·······5分 （2）不等式f?x??x?a?1?a?1?等价于

x?1?2x?1x?a?1?a?1，···6分

x解得a??32或a?32， 故实数a的取值范围为??3??3????,?2??U??2,????．

10分

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