2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)

这样，可以得到23=8个三元一次方程组： （1）a-b=1，b+c=1，a+c=2； （2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2； （3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2； （4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2； （5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2； （6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2； （7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2； （8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．

对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．

对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．

对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．

故│a+b+2c│=3． 二、1．1．

由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．

由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2 005=99×20+25=98×20+45

=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73 =91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．

以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．

3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc） =3×14+4×（-6）=18． 4．6．

如图5，连结BD、CE．因为 S△BCD=S△ECD=1， 所以，BE∥CD．

因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF． 因此，BE∥AF∥CD．

同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．

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由AD、BE、CF三线共点于O，可知四边形OCDE、四边形OEFA、四边形OABC都是平行四边形，易知，每个平行四边形的面积都等于2． 5．150．

因为971 425被12除余1，而 971 425=5×5×7×7×13×61，

其中被12除余5、余7、余1的质因数各都是两个，由于两个被12除余5（余7）的数的乘积被12除余1，而971 425与若干个1的积仍为971 425，被12除余1，所以，?只能是6个被12除余1的数的乘积为971 425．计算得知： 971 425=1×1×1×1×1×971 425， 这6个因数之和为

1+1+1+1+1+971 425=971 430；

971 425=1×1×1×1×13×74 725， 这6个因数之和为

1+1+1+1+13+74 725=74 742；

971 425=1×1×1×13×25×2 989， 这6个因数之和为

1+1+1+13+25+2 989=3 030．

事实上，设a、b都是被12除余1的大于1的自然数，且a≥b，则a≥b>2，易知 ab>a×2=a+a>a+b． ① 根据式①得

971 425=13×74 725>13+74 725 =13+25×2 989>13+25+2 989 =13+25+49×61>13+25+49+61．

因为971 425=52×72×13×61=1×1×13×25×49×61，所以，971 425表为6?个被12除余1的自然数，它们和的最小值等于 1+1+13+25+49+61=150． 三、（1）由a+b+c=0，得a+b=-c，因此，（a+b）3=-c3． 于是，有a3+3a2b+3ab2+b3=-c3．

故a3+b3+c3=-3ab（a+b）=-3ab（-c）=3abc．

（2）．（

a?bb?cc?ac++）·

acba?b2c2b?cc?ac=1+（+）·=1+．

ababa?b2a2aa?bb?cc?a同理，（++）·=1+．

bcab?ccb2b2a?bb?cc?ab（++）·=1+

acacbc?a- 6 -

故（

aa?bb?cc?acb++）（++）

acba?bb?cc?a2c22a22b22(a3?b3?c3)2?3abc=1++1++1+=3+=3+=9．

abbcacabcabc四、在△ABC中，由∠BAC=∠BCA=44°，得AB=BC，∠ABC=92°．

如图6，作BD⊥AC于点D，延长CM交BD于点O，连结OA，则有 ∠OAC=∠MCA=30°，

∠BAO=∠BAC-∠OAC=44°-30°=14°． ∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°． 所以，∠BAO=∠MAO．

又∠AOD=90°-∠OAD=90°-30°=60°=∠COD， 所以，∠AOM=120°=∠AOB．

又AO=AO，因此，△ABO≌△AMO． 故OB=OM．

由于∠BOM=120°，从而， ∠OMB=∠OBM=

180???BOM=30°．

2所以，∠BMC=180°-∠OMB=150°．

五、如果17个数的末位数字0，1，2，3，4每个都有，可选出5?个数的末位数字恰分别为0，1，2，3，4，则这5个数之和的末位数字为0，其和被5整除．

如果17个数的末位数字不是0，1，2，3，4每个都有，则最多只有4?种不同的末位数字．这时，根据轴屉原理，这17个数中至少有5个数的末位数字一样．于是，这5?个数之和被5整除．

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