高考数学难点突破_难点37__数形结合思想

难点37 数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.

●难点磁场

1.曲线y=1+4?x2 (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 .

2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.

●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C?B，求实数a的取值范围.

命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.

知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域

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求法确定集合C.进而将C?B用不等式这一数学语言加以转化.

错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.

技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.

解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}

作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}

要使C?B,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾.

12②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C?B，由图可知：

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必须且只需??2a?3?4

?0?a?2解得≤a≤2

12③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C?B必须且只需

?a2?2a?3解得2＜a≤3 ?a?2?④当a＜–2时，A=?此时B=C=?，则C?B成立. 综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］.

12［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

???2c2?2. a?b2cos2命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.

错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.

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