人教版九年级数学上册期末备考训练：二次函数压轴(含答案)

6．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴解得：

， ，

∴B（1，2），

故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数根据题意，得∵x＞0， ∴∴

，，

，

的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

，

∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y），

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵又x≥0，

∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，

，

再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过

点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．

7．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3， 故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3， 将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3； （2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，

设点P（x， x2﹣x﹣3），则点H（x， x﹣3），

S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，

∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可， S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x， ∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；

（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，设∠MBC＝∠ABC＝2α，

过点B分别在x轴之上和BC之下作角度数为α的两个角，分别交y轴于点N交抛物线于点M′，交抛物线于点M，

过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，

OB＝4，OC＝3，则BC＝5，

设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1， 由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝， 则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣）， 在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝， 则cos∠CGK＝

＝，sin∠CGK＝，

则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣

x﹣

…②，

），

则直线BH的表达式为：y＝

同理直线BN的表达式为：y＝﹣x+…③ 联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0， 解得：x＝1或4（舍去4）， 则点M（1，﹣

）；

联立①③并解得：x＝﹣， 故点M′（﹣，）； 故点M（1，﹣

）或（﹣，）．

8．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得： 直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，

S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3， ∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况： ①当∠ACB＝∠BOQ时，

；