2019-2020届高考数学(理)大一轮复习顶层设计配餐作业：16导数与不等式 Word版含解析

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围。 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)。当a＝4时，

1

f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋x－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0。

曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0。 a?x－1?

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0。

x＋1a?x－1?

设g(x)＝lnx－，则

x＋1

x2＋2?1－a?x＋112a

g′(x)＝x－＝，g(1)＝0。

?x＋1?2x?x＋1?2

(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；

(ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得

x1＝a－1－?a－1?2－1，x2＝a－1＋?a－1?2－1。

由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)

综上，a的取值范围是(－∞，2]。 答案 (1)2x＋y－2＝0 (2)(－∞，2] 10．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx。 (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； 2

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋alna。 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， a

f′(x)＝2e－x。

2x

当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；

a

当a>0时，设u(x)＝e，v(x)＝－x，

2x

a

因为u(x)＝e在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－x在(0，＋∞)上

2x

单调递增，

所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增。

a1

又f′(a)>0，当b满足00时，f′(x)存在唯一零点。

(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0。

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)。 由于

a2x

2e0－x＝0，

0

a22

所以f(x0)＝2x＋2ax0＋alna≥2a＋alna。

02

故当a>0时，f(x)≥2a＋alna。

答案 (1)当a>0时，存在唯一零点 (2)见解析

(时间：20分钟)

1．(2017·唐山模拟)已知函数f(x)＝a(tanx＋1)－ex。

(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线经过点(2,3)，求实数a的值； π??

?(2)对任意x∈0，2?，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。 ??解析 (1)因为f(x)＝a(tanx＋1)－ex， a

所以f′(x)＝cos2x－ex，

所以f′(0)＝a－1，

又f(0)＝a－1，且f(x)的图象在x＝0处的切线经过点(2,3)，故a?a－1?－3－1＝，

0－2

∴a＝2。

ex

(2)由f(x)≥0得a≥，

tanx＋1ex

令g(x)＝，

tanx＋1

extanx?1－tanx?

则g′(x)＝，

?tanx＋1?2π????0，当x∈4?时，g′(x)>0； ?

?ππ?

当x∈?4，2?时，g′(x)<0，

?

?

答案 (1)a＝2 (2)

2．(2016·四川高考)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R。 (1)讨论f(x)的单调性；

1

(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>x－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)。

2

12ax－1

解析 (1)f′(x)＝2ax－x＝x(x>0)。

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减。

1

当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝。

2a

1??0，??时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 此时，当x∈

2a??

?1?

，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增。 当x∈?2a??

11

(2)令g(x)＝x－x－1，s(x)＝ex－1－x。

e则s′(x)＝ex－1－1。 而当x>1时，s′(x)>0，

所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增。 又由s(1)＝0，有s(x)>0， 从而当x>1时，g(x)>0。

当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0。

故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0。 11

当01，

2a

?1??1????>0， 由(1)有f

所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立。

1

当a≥2时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)。当x>1时，h′(x)＝2ax－

32x－2x＋1x－2x＋1111111－x

>>0。 x＋x2－e>x－x＋x2－x＝x2x2因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增。 又h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0， 即f(x)>g(x)恒成立。

?1?

综上，a∈?2，＋∞?。

??