2019-2020届高考数学(理)大一轮复习顶层设计配餐作业：16导数与不等式 Word版含解析

配餐作业(十六) 导数与不等式

(时间：40分钟)

一、选择题

lnx

1．(2017·丹东模拟)若f(x)＝x，ef(b) C．f(a)

B．f(a)＝f(b) D．f(a)f(b)>1

1－lnx

解析 因为f′(x)＝x2，当x>e时，f′(x)<0，f(x)是减函数，又因为ef(b)。故选A。

答案 A

2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

A．af(b)≤bf(a) C．af(a)≤f(b)

B．bf(a)≤af(b) D．bf(b)≤f(a)

解析 因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，

?f?x??xf′?x?－f?x?－2f?x?所以??′＝≤x2≤0。 x2?x?

f?x?

则函数x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0

则a≥b，即af(b)≤bf(a)。故选A。 答案 A

3．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )

A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析 当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f′(x)>0，由x·f′(x)<0，得x<0，所以x<－1。

当x∈(－1,1)时，f(x)是减函数，所以f′(x)<0。 由x·f′(x)<0，得x>0，所以0

故x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)。故选A。 答案 A

4．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) C．(0，＋∞)

2

B．(－∞，4] D．[4，＋∞)

3

解析 2xlnx≥－x＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋x， ?x＋3??x－1?3

设h(x)＝2lnx＋x＋x(x>0)，则h′(x)＝。 x2当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4。故选B。 答案 B

5．已知函数F(x)＝(x－a)2＋(lnx2－2a)2(x>0，a∈R)，若存在x0，

4

使得F(x0)≤5成立，则实数a的值是( )

A．1 2C.5

1B.2 1D.5

解析 函数F(x)可视为两个动点M(x，lnx2)，N(a,2a)之间的距离44

的平方，若存在x0使得F(x0)≤5成立意味着F(x)min≤5，注意到点M(x，lnx2)，N(a,2a)分别是曲线f(x)＝2lnx和直线g(x)＝2x上的动点，f′(x)22＝x，令x＝2，解得x＝1，则函数f(x)图象上切线斜率为2的点M(1,0)，

?2?24

该点到直线g(x)＝2x的距离的平方d＝??＝5，此时y＝2x与y＝

?5?

2

11

－2(x－1)的交点的横坐标即为实数a的值5。故选D。

答案 D 二、填空题

?π?

6．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f?2?，f(2)的大小关系为

??

________。

解析 函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)。 又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，

?π??，π当x∈2?时，f′(x)<0。 ??

?π?

所以f(x)在区间?2，π?上是减函数，

?

?

?π?

所以f?2?>f(2)>f(3)＝f(－3)。

??

?π?

答案 f(－3)

??

7．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不3

等式f(x)>ex＋1(e为自然对数的底数)的解集为________。

3

解析 由f(x)>ex＋1得，exf(x)>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex

－3，对F(x)求导得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]。

由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)。

答案 (0，＋∞)

8．(2016·衡水模拟)已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R。若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是________。

解析 f′(x)＝2xlnx＋(1－2a)x＝x(2lnx＋1－2a)， 1

当a≤2时，因为x≥1，所以f′(x)≥0。 所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 故f(x)≥f(1)＝0。

1??

综上a的取值范围是?－∞，2?。

??1??

答案 ?－∞，2?

??三、解答题

9．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)。 (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；