高考数学一轮复习第三章导数及其应用3_1导数的概念及运算课时作业文北师大版

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第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设y＝xe，则y′＝

( )

A．xe＋2x C．(2x＋x)e

解析 y′＝2xe＋xe＝(2x＋x)e. 答案 C

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于

( )

A．－e C．1

B．－1 D．e

x2x2

2

2x2xB．2xe D．(x＋x)e

x2

xxx1

解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，

x∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B

3．曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是

( )

A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0

xxB．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0

解析 y′＝cos x＋e，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0. 答案 C

4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为

( )

11

A．e B．－e C. D．－ ee

1

解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0

x11

＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得

x0x0

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x0＝e，故此切线的斜率为.

答案 C

1＋cos x?π?5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝在点?，1?处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，sin x?2?则实数a等于

( )

A．－1 C．－2

－1－cos x解析 ∵y′＝，∴2

sin x1

由条件知＝－1，∴a＝－1.

1B. 2D．2 ＝－1.

1e

a答案 A 二、填空题

6．若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

1

解析 因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x2

x1

轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.

21答案

2

7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________. 1

解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

3∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案 0

8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

1

解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1

2

x＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax＋(a＋2)x＋1相切， 消去y，得ax＋ax＋2＝0，

∴a≠0且Δ＝a－8a＝0，解得a＝8.

22

2

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答案 8 三、解答题

132

9．已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

3

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1， 5

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

3

2

2

?5?所以斜率最小的切线过点?2，?， ?3?

11

斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.

3(2)由(1)得k≥－1，

?π??3π?所以tan α≥－1，所以α∈?0，?∪?，π?.

2??4??

10．已知曲线y＝x＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 解 (1)由y＝x＋x－2，得y′＝3x＋1， 由已知令3x＋1＝4，解之得x＝±1. 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．

1

(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－

41

1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.

4

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是

( )

A．y＝sin x C．y＝e

x2

3

2

3

B．y＝ln x D．y＝x

3

解析 若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.

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对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；

111

对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使

xx1x2

得x1x2＝－1；

对于C：y′＝e，若有e·e＝－1，即e

2

2

2

xx1x2x1＋x2

＝－1.显然不存在这样的x1，x2；

对于D：y′＝3x，若有3x1·3x2＝－1，即9x1x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2. 答案 A

12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为

( )

A．1 B.

35

C. D.2 22

2

2

22

解析 点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时， 点P到直线y＝x－2的距离最小，

直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x－ln x， 11

得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，

x2

故曲线y＝x－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2， ∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2. 答案 D

12

13．若函数f(x)＝x－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

2

12

解析 ∵f(x)＝x－ax＋ln x，

21

∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．

2

2

x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

11

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．

xx答案 [2，＋∞)

2

14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在xx＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．