2018-2019学年高中物理 第六章 万有引力与航天 第4节 万有引力理论的成就学案 新人教版必修2

飞行一周，记下时间为T.引力常量G已知.

(1)试根据以上数据求出月球的质量； (2)据题中所给数据求出月球的平均密度.

【思路点拨】 利用月球表面处万有引力等于重力，当用弹簧秤在月球表面处测重力时，

F＝mg

再对指令舱根据万有引力提供向心力，列圆周运动的方程可以求出.

【解析】 (1)设月球的质量为M、半径为R、表面的重力加速度为g，根据万有引力定律，有F＝mg＝G2，①

MmR根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有an＝g＝＝

Fm?2π?R.② ?T???

F3T4

联立①②求得月球质量M＝43.

16Gπm(2)指令舱的向心力等于月球对它的万有引力，即

2

Mm?2π?2G2＝m??R R?T?

4πR得月球质量M＝2 23

GT4πR23

3π所以月球的平均密度ρ＝＝＝2.

4343GTπRπR33

MGT2

F3T43π

【答案】 (1) 43 (2)

16GπmGT2变式训练1－1 (2018·济宁一模)对于环绕地球做圆周运动的卫

星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )

5

4πbA．

2

GaGa4πaB． 2

GbGbC．2 4πbD．2 4πaMm4π2GM23

解析：卫星受到的万有引力提供其圆周运动的向心力，G2＝m2r，解得r＝2T，

rT4π

2

a4πa对照图象可知，，B选项正确. 2＝，地球的质量M＝4πbGbGM答案：B

解决天体问题的思路和方法： (1)建立两种模型

①建立质点模型：天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，首先应把研究对象看做质点，人造天体直接看做一个质点，自然天体看作是位于球心位置的一个质点.

②建立匀速圆周运动模型：行星或卫星的绕行轨道大都为椭圆，但用圆周运动知识处理近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决.

(2)抓住两条思路

天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：

思路1：利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力.

MmG2＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度). R思路2：利用万有引力提供向心力

6

2

Mmv24π2

由此得到G2＝ma＝m＝mωr＝mωv＝m2r.

rrT

名师点易错

1.计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量.

2.要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若近地轨道运行，则有R＝r.

要点2|双星模型

双星模型如图所示：

1.两颗星球绕中心连线的某一点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，属于同轴转动的模型，模型中的向心力、周期、角速度相等.

2.双星的轨道半径之和等于双星之间的距离，即rA＋rB＝L.

3.每颗星做匀速圆周运动的向心力由双星之间的万有引力提供，即GmAmB2

2＝mAωrA＝LmArBmBω2rB，解得＝，两星做匀速圆周运动的半径与自身的质量成反比.

mBrA典例2 冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M、m(m

们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O做匀速圆周运动.冥王星与星体卡戎到O点的距离分别为R和r.则下列说法正确的是( )

A．可由G2＝MRω计算冥王星做圆周运动的角速度

MmR2

7

Mmv2

B．可由G2＝M计算冥王星做圆周运动的线速度

LLMmLC．可由G2＝mr?

?2π?2计算星体卡戎做圆周运动的周期

??T?

D．冥王星与星体卡戎绕O点做圆周运动的线速度大小相等

【思路点拨】 冥王星和其附近的星体卡戎依靠彼此之间的万有引力提供向心力，使它们绕连线上某点做圆周运动，两者一定具有相同的周期和角速度，对两个星体分别列方程即可求得.

Mmv22

【解析】 根据题意，对冥王星受力分析可以知道： G2＝MωR＝M可以得到冥王星LR的角速度和线速度，故选项A、B错误；对卡戎根据万有引力定律可以得到： GMm?2π?2

＝m??rL2?T?

MmL计算星体卡戎做圆周运动的周期，故选项C正确；对冥王星： G2＝MωR，对卡戎： G2＝

MmL2

mω2r，则： Mω2R＝mω2r.则： MvM＝mvm，即冥王星与星体卡戎绕O

点做圆周运动的线速度大小不相等，故选项D错误. 【答案】 C

变式训练2－1 (多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此

之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示.若AO＞OB，则( )

A．星球A的质量小于星球B的质量 B．星球A的线速度大于星球B的线速度 C．星球A受到的向心力大于星球B受到的向心力 D．星球A的向心加速度小于星球B的向心加速度

解析：双星系统中，恒星间的万有引力提供向心力，

GmAmBmA22

解得，＝2＝mAωrA＝mBωrB，

LmB8