全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用

事实上如图设AE?ABAB,AF?ACAC都是单位向量

易知四边形AETF是菱形 故选答案B 例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）O为△ABC所在平面内一点，如果

OA?OB?OB?OC?OC?OA，则O必为△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

事实上OA?OB?OB?OC?(OA?OC)?OB?0?CA?OB?0?OB⊥CA 故选答案D

例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足

OA?BC?OB?CA?OC?AB，则点O是三角形ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

事实上由条件可推出OA?OB?OB?OC?OC?OA 故选答案D

例4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足OP?OA??(222222ABABcoBs?ACACcoCs)，

???0,???，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

事实上

?(ABABcB?)?BC???(?BC?BC)?0ACcCooAC

ss图3

故选答案D

例5：2005年全国（I）卷第15题“?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，则实数m=________” 先解决该题：

CH?AB，作直经BD，连DA，DC,有OB??OD，DA?AB，DC?BC，AH?BC，

故CH//DA，AH//DC

故AHCD是平行四边形，进而AH?DC，又DC?OC?OD?OC?OB

∴OH?OA?AH?OA?DC 故OH?OA?OB?OC，所以m?1 评注：外心的向量表示可以完善为：

若O为?ABC的外心，H为垂心，则OH?OA?OB?OC。其逆命题也成立。 例6．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证： △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明： 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=? 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=?角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|，即O是△ABC所在平面内一点，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?点O是正△P1P2P3的中心.

1， 21， ∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三26. 练习题

11

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=3(21OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的( B)

2A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 分析：取AB边的中点M，则OA?OB?2OM，

111由OP=3(2OA+OB+2OC)可得3OP?3OM?2MC，

22∴MP?MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。

32．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA2＝OC2＋

AB2，则Ｏ为△ABC的( D )

A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心 3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0，则P为△ABC的( C )

A.外心 B. 内心 C．重心 D．垂心

4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

ABC的(C ) OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△

A.外心 B. 内心 C. 重心 D．垂心 5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：PA?PC?PA?PB?PB?PC?0，则P点为三角形的 ( D )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a?PA?b?PB?c?PC?0，则

P点为三角形的(B )

A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

7．在三角形ABC中，动点P满足：CA?CB?2AB?CP，则P点一定通过△ABC的(B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

ABACABAC18.非零向量AB与AC满足(+)·BC=0且·=,则△ABC为(D)

|AB||AC||AB||AC|2A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形 解析：非零向量与满足(∴AB=AC，又cosA?ABAB|AB||AC|?AC22)·BC=0，即角A的平分线垂直于BC，

1?=，∠A=，所以△ABC为等边三角形. 23|AB||AC|?AC9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，则实数

m= 1 10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是△ABC的(B)

(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，

A

AC两边分别交于M，N两点，且AM?xAB，AN?yAC，则

11??3。 xyM G

N C

证 点G是△ABC的重心，知GA?GB?GC?0，得 B

图1

1?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?0，有AG?(AB?AC)。

3又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，

于是存在λ，μ，使得AG??AM??AN(且????1)，

?????1111?有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，得?1，于是得??3。

xy3??x??y??3