全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用

全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用

河南 马守林2009.09.30

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。下面从六个方面加以阐述：1. 三角形的“四心”定理的平面几何证明；2. 三角形“四心” 定理向量形式的充要条件及其证明；3. 与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4. 欧拉线的4种证法；5. 与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；6.练习题.

1.三角形的“四心”定理的平面几何证明

①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心．

②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。

证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为 A′C′、A′B′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．

③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

证明:(同一法)设中线BE,CF交于点G,连结EF, 则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.

同理中线AD,BE交于G?,连结DE,则:

DE//AB,且EG?:G?B=DG?:G?A=DE:AB=1:2,故G,G?重合.

④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I,

过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID．

因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．

2.三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明

①O是?PP12P3的重心?OP1?OP2?OP3?0(其中a,b,c是

P1

O

P2

P

P3

?PP12P3三边)

O是?PP证明：充分性OP12P3的重心 1?OP2?OP3?0?若OP则OP1?OP1?OP2?OP3?0，

2??OP3，以OPOP13'P2，2为邻边作平行四边形OPP1，

''??PPOP?OP?OPOP??OP3，即设OP与交于点，则为的中点，有，得PPPP33123312123'故P同理，PO所以，O,P1,P2O亦为?PP3P为?PP12P3的中线，12P3的中线，3,P3,P四点共线，

O为的重心。

必要性：O是?PP12P3的重心?OP1?OP2?OP3?0

P，则P为P?2OP. 如图，延长PO11交P2P3于2P3的中点，由重心的性质得PO∵OP1??2OP??2?

②点O是?PP12P3的垂心?OP1?OP2?OP2?OP3?OP3?OP1 证明：O是?PP12P3的垂心?OP3?PP12,OP1?P2P3

P1

1(OP2?OP3)??OP2?OP3∴OP1?OP2?OP3?0 2??O OP3?PP12?0?OP3?(OP2?OP1)?0?OP3?OP2?OP3?OP1同理OP1?P2P3?OP3?OP1?OP1?OP2 故当且仅当OP1?OP2?OP2?OP3?OP3?OP1. ③点O是?PP2?OP3． 12P3的外心?OP?OPP2

P

P3

C

2

2

2

证明：O是△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|(或OA=OB=OC)(点O到三边距离相等)

?(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0(O为三边A

垂直平分线的交点)

O D

B

④O是?PP12P3的内心?a?OP12P3三边) 1?b?OP2?c?OP3?0。(其中a,b,c是?PPO是?PP证明：充分性： a?OP12P3的内1?b?OP2?c?OP3?0?心

a?OP1?b?OP2?c?OP3?a?OP1?b?(OP1?PP12)?c?(OP1?PP13)=(a?b?c)?OP1?b?PP12?c?PP13?0

所以PO?1PPPPPPPPbc(12?13)，而12，13分别是PP12，PP13方向上的单位向量，

a?b?ccbcb所以向量

PPPP12即PO同理PO平分?PP得到点O?13平分?P2PP13，2PP13，12P3，21平分?Pcb是?PP12P3的内心。

必要性：O是?PP12P3的内心?a?OP1?b?OP2?c?OP3?0

P，由三角形内角平分线的性质定理，有若点O为?PP交P12P3的内心，延长PO12P3于

POPPPPb?c1，于是a?OP?12?13?1?(b?c)?OP?0

OPP2PP3Pa再由

bcP2PcOP2?OP3（定比分点）代入前式中便得?，有OP?b?cb?cPP3ba?OP1?b?OP2?c?OP3?0.

必要性证法二：设O是?ABC内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设

A(p,0),B(qcos?,qsin?),C(rcos?,?rsin?).其中?AOB??,?AOC??

(x,y?R),则 ,OC不共线，由平面向量基本定理，可设OA?xOB?yOC显然OBpsin??x??qsin(???)?p?xqcos??yrcos??解得??0?xqsin??yrsin???y?psin??rsin(???) ??qrsin(???)OA?prsin?OB?pqsin?OC

??AOB??,?AOC??,?BOC?2??(???),sin?BOC??sin(???)??S?BOCOA?S?AOCOB?S?AOBOC即S?BOCOA?S?AOCOB?S?AOBOC?0

（ⅰ）若O是?ABC的内心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c 故 aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0 必要性得证．同时还可得到以下结论

（ⅱ）若O是?ABC的重心，则

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0 （ⅲ）若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0 （ⅳ）若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

A F E

O

故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0 证明：S?BOC?B tanB：tanC 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：D

111OBOCsin?BOC?OBOCsinA?OBOCtanAcosA（A 、E、222C O 、F四点共圆）同理

S?AOB?S?AOC11OAOBsinC?OAOBtanCcosC 2211?OAOCsinB?OAOCtanBcosB 22因此只需证

OBOCcosA?OAOBcosC?OAOCcosB

先证第一个等式

OBOCcosA?OAOBcosC cosCcos?AOEOEOEOC????（E 、C、D、O四点共圆,?C,?AOE为?DOE的cosAcos?COEOAOCOA补角；E 、O、F、A四点共圆,?A,?COE为?FOE的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。 评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。 3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式

① 设???0,???，则向量?(ABABABAB?ACACACAC)必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;

② 设???0,???，则向量?(?)必平分∠BAC的邻补角

ACACcosC③ 设???0,???，则向量?(的垂心

ABABcosB?)必垂直于边BC，该向量必通过△ABC