数学史

? 亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理.如多边形外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小等.

? 由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰富的素材，也为希腊数学后来的进一步发展打下了坚实的基础.

2.2 希腊数学的黄金时代

? 从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国.公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉(欧洲部分)、塞流卡斯(亚洲部分)和托勒密(埃及部分)三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期.

? 亚历山大城位于埃及北部海岸，该城的规划、施工和移民为亚历山大大帝亲自指挥，他准备将这座城市作为其庞大帝国未来的首都.

? 帝国分裂后，这里成为托勒密王国的首都.经历代托勒密国王的经营，成为当时整个地中海地区最大的城市.在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养.优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生.

? 这个时期的数学发展有两个方向：

? 其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得 (Euclid，约公元前330~公元前275)、阿波罗尼斯(Apollonius，公元前262～公元前190)； ? 其二是以阿基米德(Archimeds，公元前287～公元前212)为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域. ? 阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人.他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平.

2.2.1 欧几里得与他的《几何原本》

? 欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院.雅典衰落后，应托勒密国王之邀来亚历山大城主持数学学派的工作.

? 欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明.然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》. ? 它是在公元前300年左右完成的.

? 欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现代版本是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的.全书分13卷，共有465个命题.

欧几里得《几何原本》的主要内容:

? 第 1卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理： ? 五条公设是：

? 从任一点到任一点作直线（是可能的）. ? 将有限直线不断沿直线延长（是可能的）.

? 以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）. ? 所有直角是相等的.

? 若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点.

? 五个公理是：

? 与同一东西相等的一些东西彼此相等. ? 等量加等量，其和相等. ? 等量减等量，其差相等. ? 彼此重合的东西是相等的. ? 整体大于部分.

? 其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明.

? 第2卷主要讨论几何代数.第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理.

? 第4卷在引入了圆的内接和外切图形的概念以后讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题. ? 第5卷讨论了有关量的比例理论.

? 第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等.

? 第7、8、9卷主要研究初等数论.从检验两个整数是否互素开

始，建立起了关于数值的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理.

例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个. 反证法的依据是逻辑学中的排中律。

哈代：“ 反证法是远比任何弃子术更高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”

? 第10卷讨论无理数，重点研究了形如（其中a，b皆为有理线段）的无理量，并对所有25种可能的形式进行了分类.

? 后3卷是立体几何内容.第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600的结论，证明了凸正多面体不多于5种.

? 以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作.他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本： ? （１）《数据》（The Data）.这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共９５个问题；

? （２）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）.研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题.

2.2.2 阿基米德的数学成就

? 阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古.

? 青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表.他一直住在叙拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题.

? 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》.

? 这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑.解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情.”

? 对数学的贡献主要有： ? 在平面几何方面

? ①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得 ．

? ②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积.

? ③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的４／３. ? ④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为２πa的圆面积的１／３.

? ⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比.

? 在立体几何方面

? ①球表面积等于大圆面积的４倍.

? ②圆的外切圆柱体的体积是球体积的３／２，其表面积（包括上下底）也是球表面积的３／２.

? ③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积. ? ④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积. ? ⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积.

? ⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式.

? 此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等. 阿基米德是应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范.

? 设有半径为ｒ的球，圆锥和圆柱的高都是２ｒ，底面半径分别是2r与r.图是它的轴截面图. 考虑在三个立体上切下与Ｎ的距离为ｘ、厚为Δｘ的薄片，其近似体积为

? 球体：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx ? 柱体： Δx ? 锥体： Δx

? 将球体和锥体的薄片挂在T点(TN=NS=2r)上，则它们关于支点N的组合矩为