山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何(2)（含解析）

(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得

PA＝a，AD＝

23212

a，PD＝a，AE＝a. 332

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，

则AM＝

PA·AD＝PDa·

23

a327

＝a.

721a3

在Rt△AEM中，sin∠AME＝

AE14＝. AM4

14

. 4

所以二面角A－PD－C的正弦值为

规律方法 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A.

2 3

B.3 36 3

2C. 3

D.

解析 如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平

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面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝26，D1O＝， 22

∴cos∠DD1O＝

DD126

＝＝. D1O63

6

. 3

∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为答案 D

3．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S－CD－A的平面角为45°，M为AB的中点，N为SC的中点．

(1)证明：MN∥平面SAD； (2)证明：平面SMC⊥平面SCD；

(3)记＝λ，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成的角为30°. 1

(1)证明 如图，取SD的中点E，连接AE，NE，则NE＝CD＝AM，NE∥CD∥AM，

2

CDAD

∴四边形AMNE为平行四边形， ∴MN∥AE.

∵MN?平面SAD，AE?平面SAD，∴MN∥平面SAD. (2)证明 ∵SA⊥平面ABCD， ∴SA⊥CD.

∵底面ABCD为矩形， ∴AD⊥CD.

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又SA∩AD＝A， ∴CD⊥平面SAD，

∴CD⊥SD，∴∠SDA即为二面角S－CD－A的平面角，即∠SDA＝45°，∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD.

∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，又SD∩CD＝D，∴AE⊥平面SCD. ∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，又MN?平面SMC， ∴平面SMC⊥平面SCD.

(3)解 ∵＝λ，设AD＝SA＝a，则CD＝λa.

由(2)知MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影， ∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成的角，即∠MSN＝30°. 在Rt△SAM中，SM＝CDADa2＋?

?λa?2，而MN＝AE＝2a，

?2?2?

2

a2

MN1

∴在Rt△SNM中，由sin∠MSN＝得＝SN2

?λa?a2＋??2?2?

，解得λ＝2，

∴当λ＝2时，直线SM与平面SCD所成的角为30°.

考点七：立体几何中的探索性问题

1、 (2012·北京卷) 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段

CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.

(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

(1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC.

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又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB.

(2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D， 所以DE⊥平面A1DC.

而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE. (3)解：

线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，

所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

1

2、如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC中点，将△

2

ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.

(1)求证：DA⊥BC；

(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.

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(1)证明 在图1中，可得AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2

，∴

AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩

平面ABC＝AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ADC，又AD?平面ADC， ∴BC⊥DA.

(2)解 取CD的中点F，连接EF，BF， 在△ACD中，E，F分别为AC，DC的中点， ∴EF为△ACD的中位线， ∴AD∥EF，

又EF?平面EFB，AD?平面EFB，∴AD∥平面EFB.

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