山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何(2)（含解析）

(1)求证：EO∥面ABF；

(2)若EF＝EO，证明：平面EFO⊥平面ABE. 证明 (1)取AB的中点M，连接FM，OM.

∵O为矩形ABCD的对角线的交点， 1

∴OM∥BC，且OM＝BC，

2

1

又EF∥BC，且EF＝BC，∴OM＝EF，且OM∥EF，

2∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM， 又∵FM?平面ABF，EO?平面ABF，∴EO∥平面ABF. (2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形，

又∵EF＝EO，∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FO⊥EM， 又∵△ABF是等边三角形，且M为AB中点， ∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M， ∴AB⊥面EFMO，

∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE. 又∵FO?平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

21

(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

证明 (1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，

所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形． 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因为BF?平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PAD.

7.如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，

AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝

2. 2

22

(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；

2

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.

3(1)证明 在等边△ABC中，AD＝AE， 在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC， 因此＝

ADAE，从而DE∥BC.

ABAC因为DE?平面BCF，BC?平面BCF， 所以DE∥平面BCF.

(2)证明 在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形12

中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝，BC＝.，

22所以BC＝BF＋CF，所以 BF⊥CF.

又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF， 所以CF⊥平面ABF.

(3)解 由(1)知，平面DEG∥平面BCF， 由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF， 又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF， 所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG. 在折叠前的图形中，

2

2

2

AB＝1，BF＝CF＝，AF＝

2AD2

由AD＝知＝，

3AB3

123. 2

23

又DG∥BF，所以＝DGAGAD2

＝＝，

BFAFAB3

211233

所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，

323323所以FG＝AF－AG＝

3

.故V三棱锥F－DEG＝V三棱锥E－DFG 6

111?1?233＝×DG·FG·GE＝·??·＝. 326?3?6324

考点五 线面角、二面角的求法

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

(1)解 在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩CD＝A， 从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.

又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.

24