山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何(2)（含解析）

其中正确的是 A．①④ C．②③

B．②④ D．③④

( )．

解析 如图，由题意，β∩γ＝l，∴l?γ，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l⊥α，即②正确；由β∩γ＝l，∴l?β，由l⊥α，得α⊥β，即④正确；而①③条件不充分，不能判断．

答案 B

3．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是 ( )． A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥m C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α 答案 C

4．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β

解析 A中的直线m，n也有可能异面，所以不正确．B正确．C中α，β不一定垂直，错误．D中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立．所以选B. 答案 B

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若α∥β，m?β，n?α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n. 上面命题中，所有真命题的序号为________．

解析 ①只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m与n可以异面，不一定平行；③满足条件的两条直线m和n也可以相交或异面，不一定平行． 答案 ②④

考点二：直线与平面垂直的判定和性质

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

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证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.

证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.

而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.

2、如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，

DE＝1，EC＝3.

证明：BE⊥平面BB1C1C.

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证明：

过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2. 在Rt△BEF中，BE＝3. 在Rt△CFB中，BC＝6.

在△BEC中，因为BE＋BC＝9＝EC， 故BE⊥BC.

由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B， 所以BE⊥平面BB1C1C.

考点三 平面与平面垂直的判定与性质

1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．

求证：平面ABC1⊥平面B1CD.

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2

2

2

证明 ∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1， ∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.

由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC. ∵AB?平面ABC，∴BB1⊥AB，

又∵AB＝BC，且AC＝2BC，∴AB⊥BC， 而BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1， ∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1， ∴AB⊥B1C，

而AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1. ∴B1C⊥平面ABC1，而B1C?平面B1CD， ∴平面ABC1⊥平面B1CD.

2、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

证明 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1， 又BM?平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BM.

又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1. 在Rt△B1C1M中，B1M＝B2

2

1C1＋MC1＝2， 同理BM＝BC2

＋CM2

＝2，

又B2

2

2

1B＝2，所以B1M＋BM＝B1B，从而BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M， 因为BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.

考点四：平行、垂直关系的综合问题

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