山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何(2)（含解析）

又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN?平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD. 同理MN∥平面A1BD. 又PN∩MN＝N， ∴平面PMN∥平面A1BD.

3、(2012·山东卷，文)如图1，几何体E－ABCD是四三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

图1 图2

(1)如图2，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，

又O为BD的中点， 所以BE＝DE.

(2)法一 如图3，取AB的中点N，连接DM，DN，MN， 因为M是AE的中点， 所以MN∥BE.

又MN?平面BEC，BE?平面BEC，∴MN∥平面BEC.(7分) 又因为△ABD为正三角形， 所以∠BDN＝30°， 又CB＝CD，∠BCD＝120°， 因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.

又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC， (11分) 又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.

(12分)

棱锥，△ABD为正

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法二：如图4，延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°， 所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因此∠AFB＝30°， 1

所以AB＝AF.

2

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．

(10分)

连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.(11分) 又DM?平面BEC，EF?平面BEC， 所以DM∥平面BEC.

4、(2013福建)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB＝6，DC＝3，若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC. 证明 法

一 取PB中点N，连接MN，CN. 在△PAB中， ∵M是PA的中点， ∴MN∥AB， 1

且MN＝AB＝3，

2又CD∥AB，CD＝3， ∴MN∥CD，

=∴四边形MNCD为平行四边形， ∴DM∥CN.

又DM?平面PBC，CN?平面PBC， ∴DM∥平面PBC.

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法二 取AB的中点E， 连接ME，DE.

在梯形ABCD中，BE∥CD， 且BE＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形， ∴DE∥BC，又DE?平面PBC，

BC?平面PBC，

∴DE∥平面PBC. 又在△PAB中，ME∥PB，

ME?平面PBC， PB?平面PBC，

∴ME∥平面PBC， 又DE∩ME＝E， ∴平面DME∥平面PBC. 又DM?平面DME， ∴DM∥平面PBC.

5．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是

PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.

(1)求证：PD∥平面ANC； (2)求证：M是PC中点．

证明 (1)连接BD，AC，设BD∩AC＝O，连接NO， ∵ABCD是平行四边形， ∴O是BD中点，在△PBD中， 又N是PB中点，∴PD∥NO， 又NO?平面ANC，PD?平面ANC， ∴PD∥平面ANC.

(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， 又∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，

∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN， ∴BC∥MN，又N是PB中点， ∴M是PC中点．

6.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点． (1)求证：E，B，F，D1四点共面；

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(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F. 证明 (1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2， ∴BG∥A1E，∴A1G∥BE.

==又同理，C1F∥B1G，

=∴四边形C1FGB1是平行四边形， ∴FG∥C1B1∥D1A1，

==∴四边形A1GFD1是平行四边形． ∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB，

==故E、B、F、D1四点共面． 3

(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.

2又B1G＝1，∴

B1G2FC2＝.又＝， B1H3BC3

且∠FCB＝∠GB1H＝90°，

∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG， ∴HG∥FB.

又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，

FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F

直线、平面垂直的判定与性质 考点：空间垂直关系的判定

1．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B．若m?α，n?β，m⊥n，则n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

解析 与α，β两垂直平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D；存在α∥β情况，故D错；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以

m⊥α，故C正确．

答案 C

2．已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：

①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.

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