2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（全国卷）（域编辑word版）

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学参考答案

一、选择题：

1．A 7．A 二、填空题：

13．－7 三、解答题 17．解：

2(n＋1)

（1）由条件可得an+1＝an．

n

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4． 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12． 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

an+12an由条件可得＝，即bn+1＝2bn，

n＋1n

又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

an-（3）由（2）可得，所以an＝n·2n1． n

18．解：

（1）由已知可得，∠BAC＝90?，BA⊥AC．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．

又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC． （2）由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32．

2

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝22．

3

∥1DC． 作QO⊥AC，垂足为O，则QO＝3

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC， M 所以QO⊥平面ABC，QO＝1． 因此，三棱锥Q?ABP的体积为

111

VQ-ABP＝×QO×SABP＝×1××3×22sin45?＝1．

332

19．解： （1）

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2．C 8．B

3．A 9．B

4．A 10．C

5．B 11．B 2316．

3

6．D 12．D

14．6 15．22

D

C Q

O

A

P B

频率/组距 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 日用水量/m3

3

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m的频率为

0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

-＝ 1 (0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48． x1

50

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

-＝ 1 (0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35． x2

50

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)． 20．解：

（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．

1 1

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．

22

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN．

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＞0，x2＞0．

?y＝k(x－2)，2

解法一：由?2得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，可知x1＋x2＝4＋2，x1x2＝4．

k?y＝2x

直线BM，BN的斜率之和为

k(x1－2)k(x2－2)2kx1x2－8ky1y2KBM＋kBN＝＋＝＋＝，…………①

x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2(x1＋2)(x2＋2)

将x1x2＝4代入①式分子，可得2kx1x2－8k＝0．

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN． 综上，∠ABM＝∠ABN．

?y＝k(x－2)，2

解法二：由?2得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4．

k?y＝2x

直线BM，BN的斜率之和为

y1(x2＋2)＋y2(x1＋2)y1y2KBM＋kBN＝＋＝，………………………①

x1＋2x2＋2(x1＋2)(x2＋2)

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y2y212把x1＝，x2＝及y1y2＝－4代入①式的分子得，

22

1

y1(x2＋2)＋y2(x1＋2)＝(y1y2＋2)(y1＋y2)＝0，

2

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN． 综上，∠ABM＝∠ABN． 21．解：

1

（1）f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－

x

1

由题设知，f ′(2)＝0，所以a＝2

2e

xex－2e2 1 x 1 x 1

从而f (x)＝2e－lnx－1，f ′(x)＝2e－＝．

2e2ex2e2x

令h(x)＝xex－2e2，h′(x)＝(x＋1)ex，在(0，+∞)上，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 而h(2)＝0，所以当0＜x＜2时，f ′(x)＜0；当x＞2时，f ′(x)＞0． 所以f (x)在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．

1 1

（2）当a≥时，f (x)≥ex－lnx－1．

ee

xex－e 1 x 1 x 1

设g(x)＝e－lnx－1，则g ′(x)＝e－＝．

eexex

令k(x)＝xex－e，k′(x)＝(x＋1)ex，在(0，+∞)上，k′(x)＞0，k(x)单调递增， 而k(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g ′(x)＜0；当x＞1时，g ′(x)＞0． 所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0．

1

因此，当a≥时，f (x)≥0．

e

22．解：

（1）由x＝ρcosθ，x＝ρsinθ，

得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4． （2）由（1）曲线C2为以点(－1，0)为圆心：，以2为半径的圆．如图

曲线C1：y＝k|x|＋2关于y轴对称，易知k＜0．

y 当C1与C2有且仅有3个公共点时，设射线y＝kx＋2

|－k＋2|2 与圆C2相切，所以＝2， 2k＋14

解得k＝0（舍）或k＝－， －1 O 1 x 3

4

所以C1的方程为：y＝－|x|＋2

3

23．解：

??－2，x≤－1，

（1）当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝?2x，－1＜x＜1，

??2，x≥1．

1

所以不等式f(x)＞1的解集为，＋∞．

2

（2）因x∈(0，1)，故不等式f(x)＞x?|ax－1|＜1?－1＜ax－1＜1

()第 7 页 共 8 页

?a＜2，2?x ?0＜ax＜2?0＜a＜??x

?a＞0?

2

又y＝在区间(0，1)上单调递减，所以0＜a≤2．

x

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