学而思寒假七年级尖子班讲义第2讲实数三大概念

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专题二 实数的三大概念

目标一 理解算术平方根、平方根、立方根的概念 目标二掌握开平方、开立方的计算方法 目标三熟练运用a的双重非负性 知识导航 表一 正方形的面积 1 9 49 1 16812 5 425 64 正方形边长 表二 根式 算术平方根 平方根 如果一个正数x的平方等于a，即概念 如果一个正数x的平方等于a，即x2?a，x2?a，那么这个正数x叫做a的算术那么这个数叫做a的平方根或二次方根。求平方根。 一个数平方根的运算叫开平方。 表示 a的算术平方根记为a，读作“根号a的平方根记为?a，读作“正负根号a” a”，a叫做被开方数。 举例 因为22?4，所以4?2 因为(?2)2?4，所以?4??2 正数只有一个算术平方根， 正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质 负数没有算术平方根， 负数没有平方根， 0的算术平方根为0. 0的平方根为0. 平方与开平方互为逆运算 常用算式 a2?a; (a)2?a; 2?1.414; 3?1.732; 5?2.236 表三

x2 11681 1 9 49 4 25 64 2 5 x 题型一：概念应用例1(1)求下列各数的算术平方根和平方根 表一 被开方4 225 169 361 12190.09数 36 1 0.16 0.000116 算术平 方根 平方根 表二

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被开方数 0 算术平方根 平方根 ??3? ???22? 23??5? 4 3 7 26 2 19 0.1 （2）计算下列各式

(?6)2?___ 62?__ 324?__

16924?___ ??___ ?1??___ 94925?0.01?___ ?1.44?___ 0.81?0.04?__

（3）求下列各数的算术平方根和平方根：

16 81 25 256

练

9?_____ 22的平方根为_______ 25?0.81?___ 106?__

2(?3)2?___ (?5)的算术平方根为_______

2(2013)2=______ (?0.1)?____

900的平方根为______ (?6)2的算术平方根为______

例2 (1)一个非负数的平方根是2a?1和a?5，则这个非负数是多少？

（2）已知2a?1与?a?2是m的平方根，求m的值。

练（1）（洪山区2015-2016七下期中）一个正数a的平方根是3x?4与2?2x，则这个正数a是______ （2）已知x?1与?2x?4是k的平方根，求k的值。

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竞赛链接

?1515?2?a,b（2009联赛）已知是正整数，且满足?是整数，则这样的有序数对(a,b)共有______ 对 ??a?b??

题型二 双重非负性 算术平方根的双重非负性 a的双重非负性指的是算术平方根非负以及被开方数非负 常见算术平方根非负性考查形式 a?0 a?0 a?b?0 a??b a和b互为相反数 常见被开方数非负性考查形式

例3 （1）若x?1?

a和?a同时出现 y?3?0，求x?y的值。

（2）已知3x?2y?1??5x?5，求6x?3y的平方根 练

若(x?2y?2)与2x?y?5互为相反数，求x?y的算术平方根

2

例4 (1)若根式x?2有意义，则x应满足______ 若根式5?x有意义，则x应满足______

若根式3?x和x?3有意义，则x应满足______ 若根式1?x?x?1有意义，则x应满足______

(2)已知y?2x?3?3?2x?5，求x?y?5的平方根 2

(3)(梅苑中学2015-2016七下期中)

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若y? 练

x2?4?4?x2，则2x?y的平方根为______

x?2（1）若(x?y)2?

（2）已知y? 例5

x?1??1?x，求x?y的值

2x?1?1?2x?16x，求xy的平方根

（1）已知2015?a?a?2016?a，求a?20152 的值

（2）已知2a?4?b?2?(a?3)b2?4?2a，求a?b的值 练 已知5?x? 拓

已知x?y?8?8?x?y?

x?6?x?4，求x?2的平方根

x?2y?a?x?y?a，求x?y?a的算术平方根

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