(精品讲义150313)数学北师大版八年级下册-等腰三角形三线合一

学子的成功就是我的成功！

“三线合一”的妙用

等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．

一、证明角相等

【例1】已知：如图1，在?ABC中，AB?AC，BD?AD于D．求证：?BAC?2?DBC． A 1 2

D

C B E

图1 二、证明线段相等 【例2】如图2，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD，过点D作DM?BE，?ABC是等边三角形，垂直为M．求证：BM?EM． A

D

B M C E

图2 三、证明直线垂直

【例3】如图3，在正△ABC中，AD?BC于点D，以AD为一边向右作正△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并给出证明． A

E

F C B D

图3

【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直： （1）有一个等腰三角形；

（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线． 例4. 等腰三角形顶角为?，一腰上的高与底边所夹的角是?，则?与?的关系式为?=___________。 例5. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?

1

中小学专辅 华强花园 林老师：15989491981

1BC，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。 2

学子的成功就是我的成功！

例6. 已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。

【同步练习】 1. 如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？

2. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝

直接应用“三线合一”

例7. 已知，如图，AD是?ABC的角平分线，DE、DF分别是?ABD和?ACD的高。

求证：AD垂直平分EF

1。 S2△ABC A 1 2 E F B D C 图1 2

中小学专辅 华强花园 林老师：15989491981

学子的成功就是我的成功！

例8. 如图，?ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB?3AK

先连线，再用“三线合一”

例9. 如图3，在?ABC中，?A?90，AB?AC，D是BC的中点，

? A K M E B D C 图2 A E P为BC上任一点，作PE?AB，PF?AC，垂足分别为E、F求证：（1）DE

F ＝DF；（2）DE?DF

B D P C

图3

先构造等腰三角形，再用“三线合一” C N D ? 例10. 如图，已知四边形ABCD中，?ACB??ADB?90，M、N分别

A M B 图4 为AB、CD的中点，求证：MN?CD

3

中小学专辅 华强花园 林老师：15989491981

学子的成功就是我的成功！

例11. 如图，BC、CF分别平分?ABC和?ACB，AE?BE?ABC中，

于E，AF?CF于F，求证：EF//BC

A F E 1 2 B N M C 图5 三线合一的逆应用

学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．

简言之：两线合一，必等腰。

利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。

等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。 一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：

证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。

证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。

证明③：已知:如图2， △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，

4

中小学专辅 华强花园 林老师：15989491981