2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=则：

解得M（，

），

，

解得：N（），

则|MN|=故选：B．

=3．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

12．（5.00分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长

，

=

．

α截此正方体所得截面最大值为：6×故选：A．

【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算

能力，有一定的难度．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5.00分）若x，y满足约束条件

，则z=3x+2y的最大值为 6 ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，

由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，

最大值为z=3×2=6， 故答案为：6

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结

合是解决本题的关键．

14．（5.00分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6= ﹣63 ． 【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．

【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，① 当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1， 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②， 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1， ∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S6=

故答案为：﹣63

【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．

15．（5.00分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 16 种．（用数字填写答案） 【分析】方法一：直接法，分类即可求出，

方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数． 【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种， 方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种， 故答案为：16

【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题

16．（5.00分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是

．

=﹣63，

【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1， 可得此时x=

，π或

；

，π或

和边界点x=0中取到，

，f（0）=0，

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=计算可得f（

）=

，f（π）=0，f（ ，

）=﹣

∴函数的最小值为﹣故答案为：

．

【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12.00分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2

，求BC．

=

，求出sin∠ADB=

，由此能求

【分析】（1）由正弦定理得出cos∠ADB；