(优辅资源)上海市崇明县高考数学一模试卷 Word版含解析

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19．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣

=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的

直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°． （1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求

?

的值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． M的坐标分别为【分析】（1）设F2，

，求出|MF2|，

Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用双曲线的定义，即可求双曲线C的方程；

（2）求出两条渐近线方程，可得点Q到两条渐近线的距离，设两渐近线的夹角为θ，可得

，利用向量的数量积公式，即可求

?

的值．

，

，即，所以

【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为因为点M在双曲线C上，所以在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，由双曲线的定义可知：

，所以…

，

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故双曲线C的方程为：…

…

（2）由条件可知：两条渐近线分别为

设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ， 则

点

Q

到

两

条

渐

近

线，…

的

距

离

分

别为

因为Q（x0，y0）在双曲线C：所以所以 20．设

（a，b为实常数）．

=﹣

，又cosθ=﹣，

上，

…

（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数； （2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；

（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．

【分析】（1）举出反例即可，只要检验f（﹣1）≠﹣f（1），可说明f（x）不是奇函数；

（2）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即实数x成立．整理可求a，b （3）当

时，

，由指数函数的性质可求f（x），由

对定义域内任意

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二次函数的性质可求当

时，

，可求

，当x＞0时，

，结合二次函数的性质可求c2﹣3c+3的范围，即可求解

，

，；

当x＜0时，

【解答】解：（1）举出反例即可．

，

所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数； （2）f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即内任意实数x成立．

化简整理得（2a﹣b）?22x+（2ab﹣4）?2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，所以

所以

或

． 经检验都符合题意．

对定义域

（3）（本小题评分说明：这里给出的是满分结论，对于写出部分解答的考生，应视答题正确程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则） 当

时，

，

因为2x＞0， 所以2x+1＞1，而

，从而

；

对任何实数c成立；

所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立． 当

时，

；

；

，

所以当x＞0时，当x＜0时，

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1）因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立． 2）当c＜0时，c2﹣3c+3＞3，解不等式所以取

21．已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． （1）若数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，求数列{bn}的通项公式； （2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，并写出数列{an}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设cn=

，

得：

．

c，fx） ．，对任何属于D的x、都有（＜c2﹣3c+3成立．

求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】（1）通过数列{an}是首项为，公比为然后求解

．

的等比数列求出通项公式，

（2）若bn=n，通过an=Sn﹣Sn+1，得到递推关系式，化简推出数列{an}是首项为2公差为1的等差数列，求出通项公式． （3）由（2）知得cn=ck?ct，证明

，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使

，构造

，然后证明数列{cn}中的任意

一项总可以表示成该数列其他两项之积．

【解答】解：（1）因为数列{an}是首项为，公比为所以

，

…

的等比数列

所以…

（2）若bn=n，则2Sn=（an+2）n，所以2Sn+1=（n+1）（an+1+2）